控制中的 LMI /pages/最小增益引理

控制中的 LMI /pages/最小增益引理

最小增益引理

系統

假設存在一個連續時間 LTI 系統，其中必須為該系統開發一個控制器，該控制器是不穩定的。系統的最小增益可以透過對所有非零輸入取輸出與輸入範數比率的下確界來獲得。根據大增益定理，如果這樣一個不穩定系統包含一個有限且非零的最小增益值，那麼任何控制器都能夠穩定閉環反饋系統，只要控制器也具有較大的最小增益。

該定理導致了最小增益引理的開發，該引理適用於分析，可以確定閉環系統是否即使在開環情況下本質上是不穩定的，也能夠實現非零的最小增益值。透過具有一個 LTI 系統，其中系統 $G$ 對應以下矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$.

資料

將需要具有以下矩陣的工廠 $G$ 的系統： $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$.

LMI：最小增益引理

以下兩個 LMI 等價，具有相同的變數

假設存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\upsilon \in \mathbb {R} _{\geq 0}$，其中 $P\geq 0$ 且

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}D\\(PB-C^{T}D)^{T}&\upsilon ^{2}I-D^{T}D\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

或（使用舒爾補獲得）

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}D&0\\(PB-C^{T}D)^{T}&-D^{T}D&\upsilon I\\0&\upsilon I&-I\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

結論

求解此 LMI 將給出 LTI 系統的最小增益。如果系統已根據 $\upsilon$ 的值（從最佳化中獲得）變為穩定，則可以使用此最小增益。

實現

• 最小增益引理示例

外部連結

• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於控制中 LMI 的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 萊恩·卡弗裡和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 最小增益引理 - 布里奇曼和福布斯關於最小增益引理的論文