控制中的 LMI/頁面/復矩陣的最小奇異值

控制中的 LMI/頁面/復矩陣的最小奇異值

復矩陣的最小奇異值

系統

考慮 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ 以及 $\gamma$。矩陣 $A$ 的最小奇異值大於 $\gamma$ 當且僅當 $AA^{H}>\gamma ^{2}I$ 或 $A^{H}A>\gamma ^{2}I$，其中 $A^{H}$ 是矩陣 $A$ 的共軛轉置或厄米特轉置。使用的不等式取決於矩陣 $A$ 的大小。

資料

矩陣 $A$ 是唯一需要的資料。

LMI：復矩陣的最小奇異值

以下 LMI 可以根據 $A$ 的大小構建

如果 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$，其中 $n\leq m$，那麼

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \\AA^{H}>\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

否則，如果 $n\geq m$，那麼

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \\A^{H}A>\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

結論

該 LMI 的結果將給出矩陣 $A$ 的最大複數值。

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \end{aligned}}$

這個答案也可以透過以下解法證明。請注意，該解法僅在矩陣 $A$ 為方陣且可逆時有效： $\sigma _{min}=1/||A^{-1}||_{2}$.

實現

• 最小奇異值示例

% Minimum Singular Value of Complex Matrix
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%SDPVAR variables
gam = sdpvar(1);

%Example Matrix A
A = rand(6,6)+rand(6,6)*1i;

%Constraints
Fc = ( A'*A >= gam*eye(6));

%Objective function
obj=-gam;

%options
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

%Displays output
fprintf('\nValue of Min singular value: ')
disp(value(sqrt(gam)))

fprintf('\nMATLAB verified output: ')
disp(1/norm(norm(A^(-1))))

相關 LMI

• 復矩陣的最大奇異值

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性及應用 - 萊恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。