控制中的LMI/頁面/混合H2 Hinf最優狀態反饋控制

控制中的LMI/頁面/混合H2 Hinf最優狀態反饋控制

混合 $H_{\infty }/H_{2}$ 最優狀態反饋控制

最佳化問題

這個最佳化問題涉及到與全反饋控制設計中使用的相同過程；然而，它不是最佳化最優輸出反饋控制設計的全輸出反饋設計，而是透過定義9矩陣工廠來完成的: $A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, $B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$, $C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $C_{2}=I$, $D_{21}=0$, 以及 $D_{22}=0$。使用這種型別的最佳化允許堆疊最佳化LMI，以實現 $H_{\infty }$ 和 $H_{2}$ 的控制器綜合。

資料

資料依賴於 9 矩陣工廠的狀態空間表示型別，因此要計算此 LMI，必須知道以下內容：$A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$，$C_{2}=I$，$D_{21}=0$ 和 $D_{22}=0$.

LMI：混合 $H_{\infty }/H_{2}$ 最優狀態反饋控制

存在標量 $\gamma _{1}$，$\gamma _{2}$，以及矩陣 $X>0$，$W$ 和 $Z$，其中

${\begin{aligned}||S(P,K(0,0,0,F))||_{H_{\infty }}^{2}+||S(P,K(0,0,0,F))||_{H_{2}}^{2}\leq \gamma _{1}+\gamma _{2}\\\\{\begin{bmatrix}XA^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}+AX+B_{2}Z&B_{1}&XC_{1}^{T}+Z^{T}D_{12}^{T}\\B1_{1}^{T}&-I&D_{11}^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&D_{11}&-\gamma _{1}I\end{bmatrix}}&<0\\\\\\traceW<\gamma _{2}\\\\AX+XA^{T}+B_{2}Z+Z'B_{2}'+B_{1}B_{1}^{T}<0\\\\{\begin{bmatrix}X&(C_{1}X+D_{12}Z)^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&W\\\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

其中 $F=ZX^{-1}$ 是控制器矩陣。

結論

來自這個LMI的結果給出了一個控制器，它對 $H_{\infty }$ 和 $H_{2}$ 最佳化進行了混合最佳化。

實現

• Hinf/H2 混合狀態反饋最佳化示例

% Mixed Hinf/H2 state feedback optimization
% -- EXAMPLE --

clear; clc; close all;

%Given
A  = [ 1  1  0  1  0  1;
      -1 -1 -1  0  0  1;
       1  0  1 -1  1  1;
      -1  1 -1 -1  0  0;
      -1 -1  1  1  1 -1;
       0 -1  0  0 -1 -1];
  
B1 = [ 0 -1 -1;
       0  0  0;
      -1  1  1;
      -1  0  0;
       0  0  1;
      -1  1  1];

B2 = [ 0  0  0;
      -1  0  1;
      -1  1  0;
       1 -1  0;
      -1  0 -1;
       0  1  1];

C1 = [ 0  1  0 -1 -1 -1;
       0  0  0 -1  0  0;
       1  0  0  0 -1  0];

D12= [ 1    1    1;
       0    0    0;
       0.1  0.2  0.4];

D11= [ 1  2  3;
       0  0  0;
       0  0  0];
   
%Error
eta = 1E-4;

%sizes of matrices
numa  = size(A,1);    %states
numb2 = size(B2,2);  %actuators
numb1 = size(B1,2);   %external inputs
numc1 = size(C1,1);   %regulated outputs

%variables
gam1= sdpvar(1);
gam2= sdpvar(1);
Y   = sdpvar(numa);
Z   = sdpvar(numb2,numa,'full');
W   = sdpvar(numc1);

%Matrix for LMI optimization
M1  = Y*A'+A*Y+B2*Z+Z'*B2'+B1*B1';
M2  = [Y            (C1*Y+D12*Z)'  ;
       C1*Y+D12*Z   W              ];
M3  = [Y*A'+A*Y+Z'*B2'+B2*Z     B1              Y*C1'+Z'*D12';
      B1'                      -eye(numb1)      D11';
      C1*Y+D12*Z                D11            -gam1*eye(numc1)];

%Constraints
Fc = (M1 <= 0);
Fc = [Fc; M3 <= 0];
Fc = [Fc; trace(W) <= gam2];
Fc = [Fc; Y  >= eta*eye(numa)];
Fc = [Fc; M2 >= zeros(numa+numc1)];

opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Objective function
obj = gam1 + gam2;

%Optimizing given constraints
optimize(Fc,obj,opt);

F = value(Z)*inv(value(Y)); %#ok<MINV>

fprintf('\n\nState-Feedback controller F matrix')
display(F)

外部連結

• 最優魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的關於控制中LMI的課程。