控制中的 LMI / pages / 修正外部圓錐扇區引理

概念

圓錐扇區定理是一個強大的輸入-輸出穩定性分析工具，它在系統特徵的普遍性和簡單性之間取得了很好的平衡，有利於實際的穩定性分析和魯棒控制器綜合。

系統

考慮一個平方連續時間線性時不變 (LTI) 系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，最小狀態空間實現為(A, B, C, D)，其中${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B,C$ 和 $D$

LMI：修正外部圓錐扇區引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 位於以 *c* 為中心，半徑為 *r* 的外部錐體中（即 ${\mathcal {G}}\in$excone_r(c)），其中 $r\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $\in {\mathcal {R}}$，在以下任意一個充分條件下。

1. 存在 P $\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 P $\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}\leq 0.$

證明. 在實際的 外部錐體扇區引理 中，項 $-C^{T}C$ 使矩陣不等式更負定。

因此，

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}\leq {\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}$

2. 存在 P $\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 P $\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)&0\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&-(D-cI)^{T}(D-cI)&rI\\0&(rI)^{T}&-I\end{bmatrix}}\leq 0.$

證明。 對 (1) 中的 $r^{2}I$ 項應用舒爾補引理得到 (2)。

結論

如果存在一個正定的 $P$ 矩陣滿足上述 LMI，則系統 ${\mathcal {G}}$ 位於以 c 為中心，半徑為 r 的外部圓錐中。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
狀態空間穩定性
外部圓錐扇區引理

參考文獻

1. J. C. Willems, “Dissipative dynamical systems - part I: General theory,” Archive Rational Mechanics and Analysis, vol. 45, no. 5, pp. 321–351, 1972.
2. D. J. Hill and P. J. Moylan, “The stability of nonlinear dissipative systems,” IEEE Transac- tions on Automatic Control, vol. 21, no. 5, pp. 708–711, 1976.
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用
4. Bridgeman, Leila Jasmine 和 James Richard Forbes. “外部圓錐扇區引理”。國際控制雜誌 88.11 (2015): 2250-2263.