控制中的LMI/頁面/修正最小增益引理

控制中的LMI/頁面/修正最小增益引理

修正最小增益引理

系統

假設存在一個連續時間線性時不變系統，其中必須為這樣一個不穩定的系統開發控制器。系統的最小增益可以透過對所有非零輸入，取輸出和輸入範數之比的下確界來獲得。大增益定理表明，如果這樣一個不穩定的系統包含一個有限的且非零的最小增益值，那麼任何控制器都能夠穩定閉環反饋系統，只要控制器也具有較大的最小增益。

該定理導致了最小增益引理的發展，其中適用的分析可以確定閉環系統是否實現了非零最小增益值，儘管在開環情況下本質上是不穩定的。透過具有一個線性時不變系統，其中系統$G$對應於以下矩陣$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$、$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$和$D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。

本質上與最小增益引理相同；但是，此修改確保了正在最佳化的系統也具有李雅普諾夫穩定性。這本質上意味著變數$Q$必須確保系統在一定程度上是穩定的，否則系統本身是不可行的。

資料

將需要一個具有以下矩陣的工廠$G$的系統：$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$、$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$和$D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。

LMI：修正最小增益引理

以下兩個LMI是等價的，具有相同的變數

假設存在 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\upsilon \in \mathbb {R} _{\geq 0}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AQ+QA^{T}&B-QC^{T}D\\(B-QC^{T}D)^{T}&\upsilon ^{2}I-D^{T}D\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

或者（使用 Schur 補得到的）

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AQ+QA^{T}&B-QC^{T}D&0\\(B-QC^{T}D)^{T}&-D^{T}D&\upsilon I\\0&\upsilon I&-I\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

結論

求解該線性矩陣不等式（LMI）將得到線性時不變（LTI）系統的最小增益。如果系統基於最佳化得到的 $\upsilon$ 值實現了穩定，則可以利用該最小增益。該系統還將證明該工廠是李雅普諾夫穩定的。

實現

• 最小增益引理示例

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯編制的LMI列表。
• 最小增益引理 - 布里奇曼和福布斯關於最小增益引理的論文。