控制中的 LMI/頁面/多準則 LQG

控制中的 LMI/頁面/多準則 LQG

多準則線性二次高斯 (LQG) 線性矩陣不等式將允許人們為具有基於 Q 和 R 矩陣中定義的幾個不同準則的高斯噪聲的狀態空間系統形成一個最佳化的控制器，類似於 LQR 框架中的控制器，這些準則被最佳化為任意成本函式的一部分。就像傳統的 LQR 一樣，成本矩陣必須以與經典控制中傳統增益非常類似的方式進行調整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直觀，因為每個增益都直接與狀態或輸入相關。

系統

該系統是一個線性時不變系統，可以用狀態空間表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu+w,\\y&=Cx+v,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分別表示狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，並且 $A,B,C,Q,R$ 是適當維度的系統矩陣。進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 並且是狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 並且是狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 並且是輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 並且是外生輸入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 並且是輸出矩陣，並且 $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 並且分別是輸出和感興趣的輸出。

$Q\geq 0$ 並且 $R>0$，並且該系統是可控且可觀的。

資料

矩陣 $A,B,C,Q,R,W,V$ 和噪聲訊號 $w,v$.

最佳化問題

線上性二次高斯（LQG）控制問題中，目標是在系統具有隨機初始條件並受到輸入和測量上的白噪聲擾動的情況下，最小化二次成本函式。

此問題有多個感興趣的輸出。它們由以下公式定義：

${\begin{aligned}z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}},Q_{i}\geq 0,R_{i}>0,i=0,...,p.\end{aligned}}$

對於每個感興趣的輸出，我們都關聯一個成本函式

${\begin{aligned}J_{LQG}^{i}=\lim _{t\to \infty }Ez_{i}(t)^{T}z_{i}(t),i=0,...,p.\end{aligned}}$

此外，矩陣 $X_{LQG}$ 和 $Y_{LQG}$ 必須作為以下 Riccati 方程的解找到：

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

最佳化問題是使 $J_{LQG}^{0}$ 在 u 滿足可測性條件和約束 $J_{LQG}^{i}<\gamma _{i},i=0,...,p.$ 的情況下最小化。這個最佳化問題可以表述為

${\begin{aligned}\max trace(X_{LQG}U+QY_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

超過 $\tau _{1},...,\tau _{p}$，其中

${\begin{aligned}Q&=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R&=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i}.\end{aligned}}$

LMI：多準則LQG

${\begin{aligned}\max :trace(XU+(Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i})Y_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

超過 $X,\tau _{1},...\tau _{p}$，受以下約束

${\begin{aligned}X&>0,\\\tau _{1}\geq 0,...,\tau _{p}&\geq 0,\\A^{T}X+XA-XB(R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i})^{-1}B^{T}X+Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i}&\geq 0.\\\end{aligned}}$

結論

此LMI的結果是上述Ricatti方程的解

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

實施

此實施需要Yalmip和Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相關LMI

1. 最優控制的逆問題

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於LMI控制的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI列表。
• 系統和控制理論中的LMI - Stephen Boyd關於LMI的可下載書籍。