控制中的LMI/頁面/NI引理

控制中的LMI/頁面/NI引理 正實系統通常與涉及能量耗散的系統相關。但是，標準的正實理論在建立閉環穩定性方面將無濟於事。然而，次數大於一的系統的傳遞函式可以滿足所有頻率值的負虛部條件，並且此類系統被稱為“具有負虛部頻率響應的系統”或“負虛部系統”。

系統

考慮一個具有狀態空間實現$(A,B,C,D)$的平方連續時間線性時不變系統。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

資料

$A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{m\times n},D\in \mathbb {S} ^{m}$

LMI：負虛部引理的LMI

根據該引理，上述系統在以下任意一個等價的充要條件下為負虛部系統

• 存在一個$P$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ⁿ，其中$P\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA&PB-A^{T}C^{T}\\B^{T}P-CA&-(CB+B^{T}C^{T})\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}\leq 0\end{aligned}}$

• 存在一個$Q$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ⁿ，其中$Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ&B-QA^{T}C^{T}\\B^{T}-CAQ&-(CB+B^{T}C^{T})\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}\leq 0\end{aligned}}$

結論

如果det($A$) $\neq$ 0，並且上述任一LMI可行，且得到的 $P>0$ 或 $Q>0$，則該系統是嚴格負虛數的。

實現

該問題在Github倉庫中的簡單實現的Matlab程式碼連結

https://github.com/yashgvd/ygovada

相關LMI

正實引理

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的LMI
• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 熊俊林 & 彼得森·伊恩 & 蘭佐恩·亞歷山大. (2010). 負虛數引理與線性負虛數系統互連的穩定性.