控制中的 LMI/pages/矩陣正定性的概念

正定性的記號

一個對稱矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定義為

半正定, $(A\geq 0)$, 如果對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax\geq 0$ 都成立。

正定, $(A>0)$, 如果對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax>0$ 都成立。

半負定, $(-A\geq 0)$.

負定, $(-A>0)$.

不定 如果 $A$ 既不是半正定也不是半負定。

正定矩陣的性質

• 對於任何矩陣 $M$，$M^{T}M>0$.
• 正定矩陣是可逆的，並且逆矩陣也是正定的。
• 正定矩陣 $A>0$ 有一個平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$.
• 對於一個正定矩陣 $A>0$ 和可逆的 $M$，$M^{T}AM>0$.
• 如果 $A>0$ 且 $M>0$，那麼 $A+M>0$.
• 如果 $A>0$，那麼 $\mu A>0$ 對於任何標量 $\mu >0$.

外部連結

• LMI 在最優與魯棒控制中的方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制領域的課程。
• LMI 在系統、穩定性與控制理論中的性質與應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 關於 LMI 的列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。