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最優輸出反饋 $H_{\infty }$ LMI

最優輸出反饋控制是一個問題，它源於對系統輸出資訊的瞭解不完整。它與狀態反饋的情況相關，其中狀態的一部分是未知的。例如，這個問題可能出現在分散控制問題中，需要使用類似“觀測器”的解決方案。一種這樣的方法是使用卡爾曼濾波器，這是一種更經典的技術。然而，還存在其他方法，它們沒有使用卡爾曼濾波器，例如下面使用LMI進行輸出反饋的方法。該$H_{\infty }$控制方法構成一個最佳化問題，試圖最小化系統的$H_{\infty }$範數。

系統

系統使用下面顯示的9矩陣符號表示。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$是狀態，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$是受控輸出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$是感測輸出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$是外源輸入，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$是執行器輸入，在任何$t\in \mathbb {R}$。

資料

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C_{1}$，$C_{2}$，$D_{11}$，$D_{12}$，$D_{21}$，$D_{22}$ 是已知的。

LMI: 最優輸出反饋 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下是等效的。

1) 存在一個 ${\hat {K}}={\begin{bmatrix}A_{K}&B_{K}\\C_{K}&D_{K}\end{bmatrix}}$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{\infty }}<\gamma$

2) 存在 $X_{1}$，$Y_{1}$，$Z$，$A_{n}$，$B_{n}$，$C_{n}$，$D_{n}$，使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&I\\I&Y_{1}\end{bmatrix}}>0$

結論

上述LMI確定了$\gamma$ 在$H_{\infty }$ 範數上的上限。此外，控制器${\hat {K}}(A_{K},B_{K},C_{K},D_{K})$ 也可以被恢復。

$D_{K}=(I+D_{K2}D_{22})^{-1}D_{K2}$

$B_{K}=B_{K2}(I+D_{22}D_{K})$

$C_{K}=(I+D_{K}D_{22})C_{K2}$

$A_{K}=A_{K2}-B_{K}(I+D_{22}D_{K})^{-1}D_{22}C_{K}$

其中，

${\begin{bmatrix}A_{K2}&B_{K2}\\C_{K2}&D_{K2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{2}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\left[{\begin{bmatrix}A_{n}&B_{n}\\C_{n}&D_{n}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}AY_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}\right]{\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{2}Y_{1}&I\end{bmatrix}}^{-1}$

對於任何滿秩的 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{2}^{T}&X_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}&Y_{2}B_{2}\\Y_{2}^{T}&Y_{3}\end{bmatrix}}^{-1}$.

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/OF_Hinf.m

相關 LMI

最優輸出反饋 H2

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的 LMI 控制課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的 LMI 可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu 著，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013 年。