控制中的 LMI/頁面/Lure 系統的輸出能量邊界

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)\\p_{i}(t)&=\phi _{i}(q_{i}(t)),i=1,\dots ,n_{p}\\q(t)&=C_{q}x(t),\\0&\leq \sigma \phi _{i}(\sigma )\leq \sigma ^{2}\ \forall \sigma \in \mathbb {R} \end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z},x(0)$.

最佳化問題

以下最佳化問題應該是找到上述 Lure 系統輸出能量的最緊上限。

${\begin{aligned}&\min _{P\succ 0,\Lambda =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n_{p}})\succeq 0,T=diag(\tau _{1},\dots ,\tau _{n_{p}})\succeq 0}x^{\top }(0)(P+C_{q}^{\top }\Lambda C_{q})x(0)\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB_{p}+A^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda +C_{q}^{\top }T\\B_{p}^{\top }P+\Lambda C_{q}A+TC_{q}&\Lambda C_{q}B_{p}+B_{p}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda -2T\end{bmatrix}}\preceq 0\\\end{aligned}}$

實現

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/blob/master/LMIs%20for%20Output%20Energy%20Bounds%20of%20Lure's%20Systems

結論

值函式返回 Lure 系統能量函式的最低邊界，即 $J=\int _{0}^{\infty }z^{\top }z\ dt$，初始條件為 $x(0)$。

備註

證明的關鍵步驟是滿足 ${\frac {d}{dt}}V(x)+z^{\top }z\leq 0$，其中 $V(.)$ 是特殊形式的 Lyapunov 函式。

外部連結

• 最優控制與魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編著的關於 LMI 的可下載書籍。