控制中的 LMI/頁面/峰峰值範數

控制中的 LMI/頁面/峰峰值範數

系統的峰峰值範數效能

系統

考慮以下系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}=Ax+Bu\\z=Cx+Du\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態訊號， $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是輸入訊號，而 $z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是輸出。 給定初始條件 $x(0)=0$，該系統可以定義為將輸出和輸入訊號對映到峰峰值效能。

${\begin{aligned}||T||_{\infty ,\infty }:=\sup \limits _{0<||u||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣 $A$，$B$，$C$ 和 $D$ 是此最佳化問題所需的唯一資料集。

最佳化問題

考慮一個連續時間 LTI 系統，$G:L_{2e}\to L_{2e}$，假設：$A$，$B$，$C$，和 $D$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$，和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。假設矩陣 $A$ 是 Hurwitz，$G$ 的峰峰值範數表示為：

${\begin{aligned}||T||_{\infty ,\infty }:=\sup \limits _{0<||w||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}\\\end{aligned}}$

LMI： 峰峰值範數

存在一個矩陣 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\gamma$, $\epsilon$, $\mu \in \mathbb {R} _{>0}$，其中使用了以下約束條件：$\min \mu$

${\begin{aligned}P<0\\{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+\gamma P&PB\\B'P&\epsilon I\end{bmatrix}}&<0\\{\begin{bmatrix}\gamma P&0&C^{T}\\0&(\mu -\epsilon )I&D^{T}\\C&D&\mu I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

由於此最佳化在約束條件中包含 $\gamma P$，因此它是一個雙線性最佳化。除非對變數 $\gamma P$ 進行某種替換，否則無法解決此 LMI。

結論

此 LMI 的結果將給出系統的峰峰值範數

${\begin{aligned}\sup \limits _{0<||u||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}<\mu \end{aligned}}$

實現

• 峰峰值範數示例

% Peak-to-Peak Norm
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%Example Matrices
A  = [ 1  1  0  1  0  1;
      -1  0 -1  0  0  1;
       1  0  0 -1  1  1;
      -1  1 -1  0  0  0;
      -1 -1  1  1 -1 -1;
       0 -1  0  0 -1  0];
  
B =  [ 0 -1 -1;
       0  0  0;
      -1 -1  1;
      -1  0  0;
       0  0  1;
      -1  1  1];
  
C = [ 0  1  0 -1 -1 -1;
      0  0  0 -1  0  0;
      1  0  0  0 -1  0];
  
D = [ 0  1  1;
      0  0  0;
      1  1  1];

%SDPVAR variables
gam = sdpvar(1);
eps = sdpvar(1);
up  = sdpvar(1);

%SDPVAR MATRIX
P = sdpvar(size(A,1),size(A,1),'symmetric');

%Constraint matrices
M1 = [A'*P+P*A+gam*P  P*B       ; 
      B'*P           -eps*eye(3)];

M2 = [gam*P       zeros(6,3)     C'        ;
      zeros(3,6) (up-eps)*eye(3) D'        ;
      C           D              up*eye(3)];

%Constraints
Fc = (P >= 0);
Fc = [Fc; gam >= 0];
Fc = [Fc; eps >= 0];
Fc = [Fc; M1  <= 0];
Fc = [Fc; M2  >= 0];

%Objective function
obj = up;

%Settings for YALMIP
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

fprintf('\nRepresentation of what occurs when attempting to solve \n')
fprintf('problem without considering bilinearity\n\n')

fprintf('setting gamma to a certain value\n eg: 0.5')
gam = 0.5;

eps = sdpvar(1);
up  = sdpvar(1);

%SDPVAR MATRIX
P = sdpvar(size(A,1),size(A,1),'symmetric');

%Constraint matrices
M1 = [A'*P+P*A+gam*P  P*B       ; 
      B'*P           -eps*eye(3)];

M2 = [gam*P       zeros(6,3)     C'        ;
      zeros(3,6) (up-eps)*eye(3) D'        ;
      C           D              up*eye(3)];

%Constraints
Fc = (P >= 0);
Fc = [Fc; eps >= 0];
Fc = [Fc; M1  <= 0];
Fc = [Fc; M2  >= 0];

%Objective function
obj = up;

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

fprintf('mu value: ')
disp(value(up))

外部連結

• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的 LMI 下載書籍。
• 控制中的線性矩陣不等式 - Carsten Scherer 和 Siep Weiland 編寫的 LMI 下載書籍