控制中的LMI/頁面/多面體穩定性

一個重要結果，用於確定具有不確定性的系統的穩定性

系統

考慮具有仿射時變不確定性的系統（無輸入）

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A_{0}+\Delta A(t))x(t)\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}\Delta A(t)=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}

其中 $\delta _{i}(t)$ 位於以下區間內

{\begin{aligned}\delta _{i}\in [\delta _{i}^{-},\delta _{i}^{+}]\\\end{aligned}}

或單純形

{\begin{aligned}\delta (t)\in {\delta :\Sigma \alpha _{i}=1,\alpha \geq 0}\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$ 且 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$

矩陣 A 和 $\Delta _{A(t)}$ 是已知的

定義：動態不確定性的二次穩定性

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A_{0}+\Delta A(t))x(t)\\\end{aligned}}

在 $\Delta$ 上二次穩定，如果存在 P > 0

定理
$(A+\Delta ,{\boldsymbol {\Delta }})$ 在 ${\boldsymbol {\Delta }}:=Co(A_{1},...,A_{k})$ 上二次穩定當且僅當存在一個 P > 0 使得

{\begin{aligned}(A+A_{i})^{T}P+P(A+A_{i})<0\quad for\quad all\quad i=1,....,k\end{aligned}}

該定理表明，LMI 只需在多面體的極值點或頂點處成立。

{\begin{aligned}(A+\Delta )^{T}P+P(A+\Delta )<0\quad for\quad all\quad \Delta \in {\boldsymbol {\Delta }}\end{aligned}}

二次穩定性意味著對於所有 $\Delta$ 都有 $\Delta \in {\boldsymbol {\Delta }}$ ，對於所有 $t\geq 0$ ，軌跡的穩定性。
二次穩定性是保守的。
存在穩定的系統不是二次穩定的。
二次穩定性有時被稱為“無限維 LMI”。

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。