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正象限可穩定性

線性系統的正象限穩定性是指系統狀態在所有 $t\geq 0$ 時都為實數且為正數，並且隨著時間的推移衰減到零的性質。在本節中，將介紹系統為正象限穩定的可行性問題，以及使系統正象限穩定的可穩定性條件。

系統

考慮系統的線性狀態空間表示如下：

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是系統的狀態向量和輸入向量。A 和 B 是適當維度的系統係數矩陣。

資料

需要知道狀態數 n 和控制輸入數 r。此外，還要求知道系統矩陣 A,B。

可行性 LMI

如果 $x(0)\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ 意味著 $\forall t\geq 0,x(t)\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ ，則 LTI 系統是正象限穩定的。此外，當 $t\rightarrow \infty$ 時， $x(t)\rightarrow 0$ 。當且僅當以下條件成立時，這是可能的：

{\begin{aligned}A_{ij}&\geq 0,\forall i\neq j,\\\exists P&>0{\text{ s.t. }}PA^{\top }+AP<0,\end{aligned}}

上述 LMI 可行性是正象限穩定性判據。為了將其轉換為正象限可穩定性檢查，可以修改問題，以便檢查 ${\dot {x}}=(A+BK)x$ 是否正象限穩定。由於 $K$ 也是此處的一個設計變數，因此上述 LMI 中的第二個不等式將導致雙線性。簡單的變數替換可以克服這個問題，從而導致以下 LMI 可行性問題，用於檢查 LTI 系統的正象限可穩定性