控制中的 LMI/pages/二次多面體 Hinf- 最優狀態反饋控制

二次多面體全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ 控制

對於具有多面體不確定性的系統，全狀態反饋是一種控制技術，它試圖根據給定的效能規範將系統的閉環系統極點放置在指定位置。 $H_{\infty }$ 方法將此任務表述為最佳化問題，並試圖最小化 $H_{\infty }$ 系統的範數。

系統

考慮具有以下狀態空間表示的系統。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}q(t)+B_{2}w(t)\\p(t)&=C_{1}x(t)+D_{11}q(t)+D_{12}w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$q\in \mathbb {R} ^{n}$，$w\in \mathbb {R} ^{g}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{mxg}$，$p\in \mathbb {R} ^{p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{pxm}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{pxn}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{pxg}$，$z\in \mathbb {R} ^{s}$，$C_{2}\in \mathbb {R} ^{sxm}$，$D_{21}\in \mathbb {R} ^{sxn}$，$D_{22}\in \mathbb {R} ^{sxg}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$。

給系統矩陣新增不確定性

$A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12}$

新的狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B_{1}+B_{i})q(t)+(B_{2}+B_{i})w(t)\\p(t)&=(C_{1}+C_{i})x(t)+(D_{11}+D_{i})q(t)+(D_{12}+D_{i})w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

最佳化問題

回顧狀態反饋下的閉環系統
$S(P,K)=$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A+B_{2}F&&B_{1}\\C_{1}+D_{12}F&&D_{11}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

這個問題可以表述為 $H\infty$ 最優狀態反饋，其中 K 是控制器增益矩陣。

LMI

用於二次多面體 $H\infty$ 最優狀態反饋控制的 LMI $||S(P(\Delta ),K(0,0,0,F))||_{H\infty }\leq \gamma$
$Y>0$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Y(A+A_{i})^{T}+(A+A_{i})Y+Z^{T}(B_{2}+B_{1,i})^{T}+(B_{2}+B_{1,i})Z&&*^{T}&&*^{T}\\(B_{1}+B_{1,i})^{T}&&-\gamma I&&*^{T}\\(C_{1}+C_{1,i})Y+(D_{12}+D_{12,i})Z&&(D_{11}+D_{11,i})&&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

透過 $F=ZY^{-1}$ 可以恢復 $H\infty$ 最優狀態反饋控制器。
控制器將確定 $\gamma$ 對系統 $H_{\infty }$ 範數的界。

實現

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/tree/master

相關LMI

完全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ 控制器

外部連結

• 最優和魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特關於控制中LMI的課程。
• LMI性質及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯編寫的LMI清單。
• 系統和控制理論中的LMI - 由斯蒂芬·博伊德編寫的關於LMI的可下載書籍。