控制中的 LMI / pages / 二次穩定性

系統

TS 模糊模型允許將非線性模型表示為一組區域性 LTI（線性時不變）模型 $[1,p.10]$ ，每個模型稱為子系統。子系統是在前提變數空間 $z(t)$ = $[z1(t)z2(t)...zp(t)]$ 的系統區域性表示，這些變數是已知的，並且可能取決於狀態變數和輸入變數。

最佳化問題

考慮一個自治系統 $x$ = $Ax$ ，其中 $A$ 是一個常數矩陣。如果我們定義李雅普諾夫函式 $V(x)$ = $x^{T}Px$ ，那麼系統是穩定的，如果存在 $P>0$ 使得條件滿足。

$A^{T}P+PA<0$

如果我們有一個矩陣族 $A(\delta (t))$ （其中 $\delta (t)$ 是一個受多面體 ∆ 限制的引數），而不是單個矩陣 A，那麼系統方程變為 $x$ = $A(\delta (t))x$ ，並且條件應該在 $\delta (t)$ 所有可能的值中都滿足。如果存在 $P>0$ 使得以下條件滿足，那麼該系統是二次穩定的。

$A(\delta (t))^{T}P+PA(\delta (t))<0$ ∀ $\delta (t)$ ∈ ∆。

由於存在無限個矩陣 A(δ(t))，因此也存在無限個與之前提到的二次穩定性相關的約束條件需要滿足。從實際角度來看，這使得問題無法解決。現在考慮系統 $x=A(\delta (t))x$ 可以用多面體形式表示為一個帶有前提變數 $z(t)$ 和 r 個子系統 $Ai$ 的 Takagi-Sugeno (TS) 多面體系統 ( $i={1,...,r}$ )。

$x(t)=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(z(t))A_{i}x(t)$ .

可以證明，如果在多面體的頂點（子系統）中滿足之前的條件，那麼多面體自主系統是二次穩定的。因此，無需在無限個矩陣中檢查穩定性，而只需在子系統矩陣 $A_{i}$ 中進行檢查。

$A_{i}^{T}P+PAi<0$ ∀i = 1, . . . , r。

穩定性條件可以應用於閉環系統，得到以下一組條件。

$G_{ii}^{T}P+PG_{ii}<0$ ∀i = 1, . . . , r。

$((G_{ij}+G_{ji})/2)^{T}P+P((G_{ij}+G_{ji})/2)<=0$ ∀i, j ∈ {1, . . . , r}, i < j。

其中 $G_{ij}=A_{i}+B_{i}K_{j}$ 且 $hi(z(t))hj(z(t))\neq 0$ .

在矩陣 Bi 為常數的特殊情況下（即 $B_{i}=B$ ），第一組不等式足以證明穩定性。因此，假設所有子系統的 B 為常數，如果存在 P > 0 使得條件滿足，則具有狀態反饋控制的多面體 TS 模型 (2.2) 在多面體內是二次穩定的。

$(A_{i}+BK_{i})^{T}P+P(A_{i}+BK_{i})<0$ ∀i = 1, . . . , r.

可以利用對輸入的預濾波實現 B 為常數的假設。這種改變不是限制性的，主要的結果是在 TS 模型中添加了一些新的狀態變數（來自濾波器的變數）。

LMI

設計使閉環系統穩定的控制器歸結為解決線性矩陣不等式 (LMI) 問題，即找到一個正定矩陣 P 和一組矩陣 $K_{i}$ ，使得條件滿足。然而，由於約束應該是未知變數的線性組合，因此應用以下變數變換： $W_{i}=K_{i}Q$ ，其中 $Q=P^{-}1$ 。LMI 問題的解是一組矩陣 $W_{i}$ ，使得條件滿足。