控制中的 LMI / 頁面 / 二階系統的魯棒穩定性

穩定性是控制領域中一個非常重要的概念，對於具有擾動的二階系統來說也同樣重要。這種二階系統可以透過質量-彈簧-阻尼器模型來最簡單的概念化，並新增擾動。速度和位置當然被選為該系統的狀態，狀態空間模型可以寫成如下所示。在這種情況下，穩定性的目標是設計一個由兩個控制器增益矩陣 $K_{p}$ 和 $K_{d}$ 組成的控制律。這些允許構建一個穩定的閉環控制器。

系統

在這個 LMI 中，我們有一個不確定的二階線性系統，可以在狀態空間中建模為

{\begin{aligned}(A_{2}+\Delta A_{2}){\ddot {x}}+(A_{1}+\Delta A_{1}){\dot {x}}+(A_{0}+\Delta A_{0})x&=Bu)\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分別是狀態向量和控制向量， $y_{d}\in R^{m_{p}}$ 和 $y_{d}\in R^{m_{p}}$ 分別是導數輸出向量和比例輸出向量， $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},C_{p}$ 是適當維度的系統係數矩陣。

$\Delta A_{2},\Delta A_{1},$ 和 $\Delta A_{0}$ 分別是矩陣 $A_{2},A_{1},$ 和 $A_{0}$ 的擾動，分別是有限的，並且滿足

{\begin{aligned}|\Delta A_{2}|_{2}\leq \epsilon _{2},|\Delta A_{1}|_{2}\leq \epsilon _{1},|\Delta A_{0}|_{2}\leq \epsilon _{0},\end{aligned}}

或者

{\begin{aligned}max\{\|\Delta a_{2ij}\|\}\leq \eta _{2},max\{\|\Delta a_{1ij}\|\}\leq \eta _{1},max\{\|\Delta a_{0ij}\|\}\leq \eta _{0},\end{aligned}}

其中 $\epsilon _{2},\epsilon _{1},\epsilon _{0}$ 和 $\eta _{2},\eta _{1},\eta _{0}$ 是兩組給定的正標量， $\Delta a_{2ij},\Delta a_{1ij},$ 和 $\Delta a_{0ij}$ 分別是矩陣 $\Delta A_{2},\Delta A_{1},$ 和 $\Delta A_{0},$ 的第 i 行和第 j 列元素。此外，擾動符號也滿足假設 $\Delta A_{2},\Delta A_{0}\in S^{n}$ 和 $A_{2}+\Delta A_{2}>0$ .

To further define: $x$ is $\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$ , $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$ , and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$ .