控制中的LMI/pages/SSFP

控制中的LMI/pages/SSFP
我們正在嘗試穩定靜態狀態反饋問題

系統

考慮一個連續時間的線性時不變系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

資料

$A,B$ 是已知矩陣

最佳化問題

該問題的主要目標是找到一個反饋矩陣，使得系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

並且

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\\end{aligned}}$

是穩定的，最初我們找到 $K$ 矩陣，使得 $(A+BK)$ 是Hurwitz。

LMI：靜態狀態反饋問題

現在可以將此問題公式化為LMI，作為問題1

$X(A+BK)+(A+BK)^{T}X<0$

從上面的方程式 $X>0$ 我們必須找到K

正如我們所看到的，這個問題在 $K,X$ 中是雙線性的

• X 和 K 中的雙線性是一個常見的正規化
• 雙線性最佳化不是凸的。為了使問題凸化，我們使用變數變化。

問題2

$AP+BZ+PA^{T}+Z^{T}B^{T}<0$

其中 $P>0$ 我們找到 $Z$
$K=ZP^{-1}$

問題1 等價於問題2

結論

如果 (A,B) 可控，我們可以得到一個使系統穩定的控制器矩陣。

實現

該問題的簡單實現的 Matlab 程式碼連結在 Github 倉庫中

https://github.com/yashgvd/ygovada

相關 LMI

Hurwitz 穩定性

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計和應用中的 LMI
• LMI 方法在最優和魯棒控制中的應用 - Matthew Peet 的 LMI 在控制中的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• [2] - Mathworks 對直流增益的參考