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Schur 穩定性的 LMI

類似於連續時間系統的穩定性，可以分析離散時間系統的穩定性。如果離散時間系統的特徵方程的所有根都位於單位圓內，則該系統被稱為穩定。這為離散時間線性系統的穩定性提供了一個條件，具有此性質的線性時不變系統被稱為 Schur 穩定系統。

系統

我們考慮以下系統

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\end{aligned}}$

其中矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$B\in \mathbb {R} ^{n\times r}$，$x\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態矩陣、輸入矩陣、狀態向量和輸入向量。

此外，$k$ 表示離散時間系統中的時間，$k+1$ 是下一個時間步。

狀態反饋控制律定義如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

其中 $K\in \mathbb {R} ^{n\times r}$ 是控制器增益。因此，閉環系統由下式給出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

資料

矩陣 $A$ 和 $B$ 是給定的。

我們將標量定義為 $\gamma$，其範圍為 $0<\gamma \leq 1$.

最佳化問題

最佳化問題是找到一個矩陣${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$，使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根據矩陣譜範數的定義，該條件等價於

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

利用控制系統分析、設計與應用中的LMI（第14頁）中的引理1.2，上述不等式可以轉換為

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

LMI: Schur 穩定性 LMI

Schur 穩定性 LMI 可以寫成標量$\gamma$在以下約束下的最小化問題：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

結論

求解 LMI 問題後，我們得到控制器增益$K$和最小化引數$\gamma$。這個問題是密集圓盤區域設計（[1]中第230頁）的一個特例。即使系統是可鎮定的，這個問題也可能沒有解。換句話說，一旦存在解，該解就是魯棒的，因為當存在引數擾動時，閉環系統的特徵值不容易超出單位圓內的一個圓盤區域 [1]。

實現

Github 倉庫中針對這個問題的 Matlab 程式碼連結：

https://github.com/asalimil/LMI-for-Schur-Stability

相關 LMI

Hurwitz 穩定性 LMI

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的 LMI

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