控制中的 LMI / 矩陣和 LMI 屬性及工具 / 小增益定理
小增益定理為反饋連線的穩定性提供了一個充分條件。
假設 B {\displaystyle B} 是一個巴拿赫代數，並且 Q ∈ B {\displaystyle Q\in B} 。如果 ‖ Q ‖ < 1 {\displaystyle \|Q\|<1} ，則 ( I − Q ) − 1 {\displaystyle (I-Q)^{-1}} 存在，此外，
( I − Q ) − 1 = ∑ k = 0 ∞ Q k {\displaystyle (I-Q)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }Q^{k}}
假設我們有一個互連繫統 ( G , K ) {\displaystyle (G,K)}
y 1 = G ( u 1 − y 2 ) {\displaystyle y_{1}=G(u_{1}-y_{2})} 和 y 2 = K ( u 2 − y 1 ) {\displaystyle y_{2}=K(u_{2}-y_{1})}
以上等式可以用矩陣形式表示為
[ I 0 0 I ] [ y 1 y 2 ] = [ 0 − G − K 0 ] [ y 1 y 2 ] + [ G 0 0 K ] [ u 1 u 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ 0&-G\\\ -K&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}G&0\\0&K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
使 [ y 1 y 2 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}\end{bmatrix}}^{T}} 成為主題，我們有
[ y 1 y 2 ] = [ I G K I ] − 1 [ G 0 0 K ] [ u 1 u 2 ] = [ ( I − G K ) − 1 G − G ( I − K G ) − 1 K − K ( I − G K ) − 1 G ( I − K G ) − 1 K ] [ u 1 u 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ I&G\\\ K&I\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}G&0\\0&K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ (I-GK)^{-1}G&-G(I-KG)^{-1}K\\\ -K(I-GK)^{-1}G&(I-KG)^{-1}K\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
如果 ( I − G K ) − 1 {\displaystyle (I-GK)^{-1}} 行為良好，則互連是穩定的。為了 ( I − G K ) − 1 {\displaystyle (I-GK)^{-1}} 行為良好， ‖ ( I − G K ) − 1 ‖ {\displaystyle \|(I-GK)^{-1}\|} 必須是有限的。
因此，我們有 ‖ ( I − G K ) − 1 ‖ < ∞ {\displaystyle \|(I-GK)^{-1}\|<\infty }
‖ G ‖ ‖ K ‖ = ‖ Q ‖ {\displaystyle \|G\|\|K\|=\|Q\|} 並且 ‖ Q ‖ < I {\displaystyle \|Q\|<I} 為了 ‖ Q ‖ {\displaystyle \|Q\|} 的更高指數收斂到 0. {\displaystyle 0.}
如果 ‖ Q ‖ < 1 {\displaystyle \|Q\|<1} ，則這暗示了穩定性，因為 Q {\displaystyle Q} 在 ∑ k = 0 ∞ Q k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q^{k}} 的求和中，更高指數將收斂到 0 {\displaystyle 0} ，而不是無限地爆炸。
一份記錄和驗證LMI的參考文獻列表。
是一個巴拿赫代數，並且 
。如果 
，則 
存在，此外，
和 
成為主題，我們有
行為良好，則互連是穩定的。為了 行為良好， 
必須是有限的。
並且 
為了 
的更高指數收斂到 
，則這暗示了穩定性，因為 
在 
的求和中，更高指數將收斂到 
，而不是無限地爆炸。
