控制中的LMI / pages / 線性時滯微分方程的穩定性

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+\sum _{i=1}^{L}A_{i}x(t-\tau _{i}),\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 且 $\tau _{i}>0$.

資料

矩陣 $A,\{A_{i}.\tau _{i}\}_{i=1}^{L}$.

LMI

求解以下 LMIP

${\begin{aligned}&{\text{Find}}\{P\succ 0,P_{1}\succ 0,\dots ,P_{L}\succ 0\}:\\&\quad s.t.{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA+\sum _{i=1}^{L}P_{i}&PA_{1}&\dots &PA_{L}\\A_{1}^{\top }P&-P_{1}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{L}^{\top }P&0&\dots &-P_{L}\end{bmatrix}}\prec 0,P_{1}\succ 0,\dots ,P_{L}\succ 0.\end{aligned}}$

實施

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/50fc71737b69f2cf57d15634f2f19d091bf37d02

結論

如果提供的 LMIP 可行，則使用形式為 $V(x,t)=x(t)^{\top }Px(t)+\sum _{i=1}^{L}\int _{0}^{L}x^{\top }(t-s)P_{i}x(t-s)\ ds$ 的李雅普諾夫泛函，證明了上述線性時滯微分方程的穩定性。

備註

也可以使用證明有界範數 LDIs 穩定性的技術 [Boyd, ch.5]。

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的LMI方法 - 由Matthew Peet主講的關於控制中LMIs的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI特性及其應用 - 由Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMIs - 由Stephen Boyd編寫的關於LMIs的可下載書籍。