控制中的 LMI/頁面/Lure 系統的穩定性

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)\\p_{i}(t)&=\phi _{i}(q_{i}(t)),i=1,\dots ,n_{p}\\q&=C_{q}x,\\0&\leq \sigma \phi _{i}(\sigma )\leq \sigma ^{2}\ \forall \sigma \in \mathbb {R} \end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z}$.

LMI： Lure 系統的穩定性

以下可行性問題應作為上述 Lure 系統穩定性的充分條件來解決。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P>0,\Lambda =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n_{p}})\succeq 0,T=diag(\tau _{1},\dots ,\tau _{n_{p}})\succeq 0:\\&{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB_{p}+A^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda +C_{q}^{\top }T\\B_{p}^{\top }P+\Lambda C_{q}A+TC_{q}&\Lambda C_{q}B_{p}+B_{p}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda -2T\end{bmatrix}}\prec 0\\\end{aligned}}$

實施

https://codeocean.com/capsule/0232754/tree

結論

如果帶有 LMI 約束的可行性問題有解，則 Lure 系統是穩定的。

備註

LMI 只是證明 Lure 系統穩定性的 Lur'e 萊雅普諾夫函式存在的充分條件。 當只有一個非線性時，即當 $n_{p}=1$ 時，它也是必要的。

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的LMI控制課程。
• LMI性質及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - 斯蒂芬·博伊德關於LMI的可下載書籍。