控制中的LMI/頁面/二次約束系統的穩定性

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{u}u(t)+B_{w}w(t),\\q(t)&=C_{q}x(t)+D_{qp}p(t)+D_{qu}u(t)+D_{qw}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)+D_{zp}p(t)+D_{zu}u(t)+D_{zw}w(t)\\\int _{0}^{t}&p^{\top }(\tau )p(\tau )\ d\tau \leq \int _{0}^{t}q^{\top }(\tau )q(\tau )\ d\tau .\end{aligned}}$

資料

矩陣$A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z},D_{qp},D_{zw}$.

LMI

以下可行性問題應該被解決。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&\{P\succ 0,\lambda \geq 0\}:\\&s.t.\quad {\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA+\lambda C_{q}^{\top }C_{q}&PB_{p}+\lambda C_{q}^{\top }D_{qp}\\(PB_{p}+\lambda C_{q}^{\top }D_{qp})^{\top }&\lambda (I-D_{qp}^{\top }D_{qp})\end{bmatrix}}\prec 0.\end{aligned}}$

實現

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/38f3b55ca7060a1260384a96e9dc31142af07a9a

結論

如果提供的LMI是可行的，則積分二次約束系統是穩定的。

備註

證明的關鍵在於滿足${\dot {V}}<0$，只要$p^{\top }p\leq q^{\top }q$，使用${\mathcal {S}}$-程式。

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的LMI控制課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質與應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - 斯蒂芬·博伊德關於LMI的可下載書籍。