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切換系統的極點配置

此LMI允許您提供切換系統閉環極點的規範。請注意，在穩定系統之間任意切換會導致不穩定，而可以在單獨的不穩定系統之間進行切換以實現穩定性。

系統

假設我們得到了切換系統，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 操作模式

資料

為了正確定義複平面中極點的可接受區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A_{i}$, $B_{i}$
• 所需的閉環極點邊界 ($\alpha$)

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。我們首先要定義複平面中極點可以位於的可接受區域。假設 $z$ 是複數極點位置，則

$Re(z)\leq \alpha$

LMI：用於極點配置的LMI

假設存在$P>0$ 和$Z$ 使得

${\begin{aligned}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,\end{aligned}}$

對於$i=1,...,k$

結論

由此產生的控制器可以透過以下方式恢復

$K=ZP^{-1}$.

實現

此 LMI 的實現需要 Yalmip 和 Sedumi /MOSEK [1]

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - Matthew Peet 撰寫的關於 LMI 在控制中的課程。
• LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - Ryan Caverly 和 James Forbes 撰寫的 LMI 列表。
• LMIs in Systems and Control Theory - Stephen Boyd 撰寫的一本關於 LMI 的可下載書籍。