控制中的 LMI/頁面/切換系統上升時間

切換系統的上升時間規格

此 LMI 允許您指定所需的效能（上升時間）。請注意，在穩定系統之間隨意切換會導致不穩定，而可以在單個不穩定系統之間切換以實現穩定。

系統

假設我們得到了一個切換系統，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{p\times m}$, 以及 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 操作模式

資料

為了正確定義複平面中可接受的極點區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升時間 ($t_{r}$)

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。我們首先必須使用以下不等式約束定義複平面中極點可以位於的可接受區域

上升時間：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

假設 $z$ 是復極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\\end{aligned}}$

這使得我們能夠修改我們的不等式約束為

上升時間：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

LMI：關於上升時間規格的LMI

假設存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0$

對於 $i=1,...,k$

結論

最終的控制器可以透過以下公式恢復

$K=ZP^{-1}$.

實現

此LMI的實現需要Yalmip和Sedumi /MOSEK [1]

外部連結

文件化和驗證LMI的參考資料列表。

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於LMI在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI清單。
• 系統與控制理論中的LMI - Stephen Boyd關於LMI的可下載書籍。