控制中的 LMI / 頁面 / 切換系統 Hinf 最佳化

控制中的 LMI / 頁面 / 切換系統 Hinf 最佳化

切換系統 $H_{\infty }$ 最佳化

最佳化問題

這個最佳化問題涉及使用狀態反饋系統設計，不同之處在於在最佳化過程中最佳化具有“切換”屬性的系統矩陣的系統。這類似於考慮具有可變不確定性的系統；一個例子是矩陣 $A$ 中的多面體不確定性。無論哪個矩陣正在切換狀態，都必須使用相同的變數對兩種情況進行最佳化。

首先透過定義 9 矩陣系統如下： $A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, $B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$, $C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $C_{2}=I$, $D_{21}=0$，以及 $D_{22}=0$。使用這種型別的最佳化允許堆疊不同的 LMI 矩陣狀態，以實現 $H_{\infty }$ 的控制器合成。

資料

資料取決於 9 矩陣系統狀態空間表示的型別；因此，為了計算這個 LMI，必須知道以下內容：$A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$，$C_{2}=I$，$D_{21}=0$ 和 $D_{22}=0$。還需要考慮的是，哪個或哪些矩陣將在最佳化過程中“切換”。這可以用 $A(\delta )$ 表示。

LMI： 切換系統 $H_{\infty }$ 最佳化

存在一個標量 $\gamma$，以及矩陣 $X>0$ 和 $Z$，其中

${\begin{aligned}||S(P,K(0,0,0,F))||_{H_{\infty }}\leq \gamma \\\\{\begin{bmatrix}XA(\delta )^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}+A(\delta )X+B_{2}Z&B_{1}&XC_{1}^{T}+Z^{T}D_{12}^{T}\\B1_{1}^{T}&-\gamma I&D_{11}^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&D_{11}&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}$

其中 $F=ZX^{-1}$ 是控制器矩陣。這也假設唯一的切換矩陣是 $A$；然而，其他矩陣可以在狀態中切換，以使控制器更加魯棒。

結論

這個 LMI 的結果給出了一個控制器增益，它是對切換系統最佳化的 $H_{\infty }$ 的最佳化。

實現

• Hinf 切換狀態反饋最佳化示例

% Switched System Hinf example
% -- EXAMPLE --

clear; clc; close all;

%Given
A  = [ 1  1  0  1  0  1;
      -1 -1 -1  0  0  1;
       1  0  1 -1  1  1;
      -1  1 -1 -1  0  0;
      -1 -1  1  1  1 -1;
       0 -1  0  0 -1 -1];
  
B1 = [ 0 -1 -1;
       0  0  0;
      -1  1  1;
      -1  0  0;
       0  0  1;
      -1  1  1];

B21= [ 0  0  0;
      -1  0  1;
      -1  1  0;
       1 -1  0;
      -1  0 -1;
       0  1  1];

B22= [ 0   0   0;
      -1   0   1;
      -1   1   0;
       1   1   0;
       1   0   1;
       0  -3  -1];

C1 = [ 0  1  0 -1 -1 -1;
       0  0  0 -1  0  0;
       1  0  0  0 -1  0];

D12= [ 1    1    1;
       0    0    0;
       0.1  0.2  0.4];

D11= [ 1  2  3;
       0  0  0;
       0  0  0];
   
%Error
eta = 1E-4;

%sizes of matrices
numa  = size(A,1);    %states
numb2 = size(B21,2);  %actuators
numb1 = size(B1,2);   %external inputs
numc1 = size(C1,1);   %regulated outputs

%variables
gam = sdpvar(1);
Y   = sdpvar(numa);
Z   = sdpvar(numb2,numa,'full');

%Matrix for LMI optimization
M1 = [Y*A'+A*Y+Z'*B21'+B21*Z   B1                Y*C1'+Z'*D12';
     B1'                      -gam*eye(numb1)    D11';
     C1*Y+D12*Z                D11              -gam*eye(numc1)];

M2 = [Y*A'+A*Y+Z'*B22'+B22*Z   B1                Y*C1'+Z'*D12';
     B1'                      -gam*eye(numb1)    D11';
     C1*Y+D12*Z                D11              -gam*eye(numc1)];

%Constraints
Fc = (M1 <= 0);
Fc = [Fc; M2 <= 0];
Fc = [Fc; Y >= eta*eye(numa)];

opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Objective function
obj = gam;

%Optimizing given constraints
optimize(Fc,obj,opt);

%Displays output Hinf gain
fprintf('\n\nHinf for Hinf optimal state-feedback problem is: ')
display(value(gam))

F = value(Z)*inv(value(Y)); %#ok<MINV>

fprintf('\n\nState-Feedback controller F matrix')
display(F)

外部連結

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。