控制中的 LMI / pages / TDSDC

系統

問題是檢查以下線性時滯系統在依賴時滯條件下的穩定性

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\x(t)&=\phi (t),t\in [-d,0],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}$

其中

${\begin{aligned}{A,A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n},A\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ are the system coefficient matrices,}}\\\end{aligned}}$

$\phi (t)$ 是初始條件
$d$ 表示時滯
${\bar {d}}$ 是 $d$ 的已知上限

為了依賴時滯系統的目的，我們將系統改寫為

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\{\dot {x}}(t)&=(A+A_{d})x(t)-A_{d}(x(t)-x(t-d)\end{cases}}$

資料

矩陣 $A,A_{d}$ 是已知的

LMI： 時滯系統（依賴時滯條件）

從給定的資訊可以清楚地看出，只有在存在對稱正定矩陣時，最佳化問題才存在解
$X$ 和一個標量 $0<\beta <1$ 使得

${\begin{bmatrix}\Phi (X)&{\bar {d}}XA^{T}&{\bar {d}}XA_{d}^{T}\\{\bar {d}}AX&-d\beta I&0\\{\bar {d}}A_{d}X&0&-{\bar {d}}(1-\beta )I\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

這裡 $\Phi (X)=X)A+A_{d})^{T}+(A+A_{d})X+{\bar {d}}A_{d}A_{d}^{T}<0$

這個 LMI 是從系統的 Lyapunov 函式推匯出來的。 因此，如果

$P(A+A_{d})+(A+A_{d})^{T}P+{\bar {d}}PA_{d}A_{d}^{T}P+{\frac {\bar {d}}{\beta }}A^{T}A+{\frac {\bar {d}}{1-\beta }}A_{d}^{T}A_{d}<0$
這是透過用 $P^{-1}$ 代替 $X$ 得到的。

結論

現在我們可以使用這些 LMI 對時滯系統進行依賴於時滯條件的穩定性分析。

實現

可以在此處檢視上述 LMI 的實現

https://github.com/yashgvd/LMI_wikibooks

相關 LMI

時滯系統（獨立於時滯條件）

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計和應用中的 LMI
• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• D. d. S. Madeira 和 J. Adamy，“靜態輸出反饋：基於被動性指標的穩定性 LMI 條件”，2016 年 IEEE 控制應用會議 (CCA)，布宜諾斯艾利斯，2016 年，第 960-965 頁。