控制中的 LMI/pages/TDSIC

系統

問題是檢查以下線性時滯系統的穩定性

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\x(t)&=\phi (t),t\in [-d,0],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}{A,A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{, }}{A}\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ 是系統係數矩陣，}}\\\end{aligned}}

$\phi (t)$ 是初始條件
$d$ 代表時滯
${\bar {d}}$ 是 $d$ 的已知上限

矩陣 $A,A_{d}$ 是已知的

從給定的資訊中可以清楚地看到，只有當存在兩個對稱矩陣 $P,S\in \mathbb {S} ^{n}$ 時，最佳化問題才存在解

$P>0$

{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+S&PA_{d}\\A_{d}^{T}P&-S\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

該 LMI 是從系統的 Lyapunov 函式推匯出來的。透過 Schur 補，我們可以看到上述矩陣不等式等價於 Riccati 不等式
$A^{T}P+PA+PA_{d}S^{-1}A_{d}^{T}P+S<0$

現在我們可以使用這些 LMI 對時滯系統進行穩定性分析，前提是時滯無關。

上面 LMI 的實現可以在以下連結找到：

[1] - 控制系統分析、設計和應用中的 LMI
控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 提供的關於控制中 LMI 的課程。
LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 提供的 LMI 列表。
D. d. S. Madeira 和 J. Adamy，“靜態輸出反饋：基於被動指數的穩定性 LMI 條件”，2016 年 IEEE 控制應用大會 (CCA)，布宜諾斯艾利斯，2016 年，第 960-965 頁。