控制中的LMI/pages/不飽和輸入穩定化

具有非對稱飽和控制的系統的穩定性條件的LMI

本頁中的LMI 給出了可行性條件，如果滿足這些條件，則意味著相應的系統可以穩定。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+BSat(u(t)),\\x(0)&=x_{0},\\Sat(u)_{i}=,\end{aligned}}

其中 $x\in \|R^{n}$ 是狀態， $u\in \|R^{m}$ 是控制輸入。

對於上面給出的系統，其對稱飽和控制形式可以透過遵循原始文章中的程式推匯出。新系統將具有以下形式

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+{\tilde {B}}sat(z(t))+Ew\end{aligned}}

其中 $w_{i}=u_{i}-{\frac {\alpha _{i}-\beta _{i}}{2}},z_{i}=w_{i}{\frac {2}{\alpha _{i}+\beta _{i}}}$

系統矩陣 $(A,{\tilde {B}},E)$ ，控制輸入的飽和界限 $(\alpha _{i},\beta _{i})$ 。正標量 $\rho ,\eta$ 。

{\begin{aligned}&{\text{Find}}\;X,Y,Z:\\&{\text{subj. to: }}X>0,\\&\quad {\begin{bmatrix}AX+{\tilde {B}}(D_{s}Y+{\hat {D}}_{s}^{-}Z)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}AX+{\tilde {B}}(D_{s}Y+{\hat {D}}_{s}^{-}Z)\end{bmatrix}}^{\top }+{\frac {\eta }{\rho }}X+{\frac {1}{\eta }}EE^{\top }<0,\\{\begin{bmatrix}\mu &Z_{i}\\*X\end{bmatrix}}>0,i=1,...,{\bar {m}}\end{aligned}}

這裡 $D_{s}$ 是一個對角矩陣，其元素要麼是 0 要麼是 1，以及 $D_{s}+D_{s}^{-}={\frac {\Lambda +\mathrm {T} }{2}}$ 以及 ${\hat {D}}_{s}^{-}=e_{f_{m}}\times D_{s}^{-}$

給定 LMI 的可行性意味著該系統可以透過控制增益 $K=YX^{-1},H=ZX^{-1}$ 進行穩定。

指向 CodeOcean 或其他線上 LMI 實現的連結