控制中的 LMI / 頁面 / 全階 H 無限 H2 狀態觀測器

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在本節中，我們處理為系統設計全階狀態觀測器的問題，使得擾動 $w(t)$ 對估計誤差的影響被禁止到所需的水平。

系統設定

該系統如下

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t),x(0)=x_{0},$

$y(t)=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t),$

$z(t)=C_{2}x(t),$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{l},\ z\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別是狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量。

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ 分別是擾動向量和控制向量。

$A,\ B_{1},\ B_{2},\ C_{1},\ C_{2},\ D_{1},{\text{ and }}D_{2}$ 是適當維度的系統係數矩陣。

問題表述

對於該系統，我們以以下形式引入全階狀態觀測器

${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$

其中 ${\hat {x}}$ 是狀態觀測向量，$L\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 是觀測器增益。顯然，感興趣的輸出的估計由下式給出

${\hat {z}}(t)=C_{2}{\hat {x}}(t)$

希望它儘可能少地受到擾動 $w(t)$ 的影響。

使用系統動力學，

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\&=Ax(t)+Ly-Ly+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\&=(A+LC_{1})x(t)-Ly(t)+(B_{1}+LD_{1})u(t)+(B_{2}+LD_{2})w(t)\end{aligned}}$

表示

${\dot {e}}=(A+LC_{1})e+(B_{2}+LD_{2})w$

${\tilde {z}}(t)=C_{2}e$.

該系統的傳遞函式很明顯地由以下公式給出

$G_{{\tilde {z}}w}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$.

有了上述準備，${\mathcal {H}}_{\infty }{\text{ and }}{\mathcal {H}}_{2}$ 狀態觀測器設計可以表述如下。

問題 1

(${\mathcal {H}}_{\infty }$ 狀態觀測器) 給定系統 (9.22) 和一個正標量 $\gamma$，求一個矩陣 $L$ 使得

$||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{\infty }<\gamma$.

問題 2

(${\mathcal {H}}_{2}$ 狀態觀測器) 給定系統 (9.22) 和一個正標量 $\gamma$，找到一個矩陣 $L$ 使得

$||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{2}<\gamma$

由於先前問題中的要求，誤差系統漸近穩定，因此我們有

$e(t)=x(t)-{\hat {x}}(t)\rightarrow 0,{\text{ as }}t\rightarrow \ \infty$

這表明 ${\hat {x}}(t)$ 是 $x(t)$ 的漸近估計。

解決方案/定理

關於 H∞ 狀態觀測器設計問題的解決方案，我們有以下定理。

定理 1

該 ${\mathcal {H}}_{\infty }$ 狀態觀測器問題 1 有解當且僅當存在一個矩陣 $W$ 和一個對稱正定矩陣 $P$ 使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+C_{1}^{T}W^{T}+PA+WC_{1}&PB_{2}+WD_{2}&C_{2}^{T}\\(PB_{2}+WD_{2})^{T}&-\gamma I&0\\C_{2}&0&-\gamma I\end{bmatrix}}<0$

當找到這樣一對矩陣 W 和 P 時，問題的解給出為

$L=P^{-1}W$

在給定衰減水平的情況下，H∞ 狀態觀測器設計問題轉化為之前提到的 LMI 可行性問題形式。具有最小衰減水平的問題 $\gamma$ 可以透過以下最佳化問題尋求

min $\gamma$

使得 ${\begin{aligned}P&>0\\{\begin{bmatrix}A^{T}P+C_{1}^{T}W^{T}+PA+WC_{1}&PB_{2}+WD_{2}&C_{2}^{T}\\(PB_{2}+WD_{2})^{T}&-\gamma I&0\\C_{2}&0&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

定理 2

當 ${\mathcal {H}}_{2}$ 狀態觀測器問題 2 有解時，以下兩個結論成立。

1. 當且僅當存在矩陣 W，對稱矩陣 Q 和對稱矩陣 X，使得

${\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}<0$,

${\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0$,

${\text{trace}}(Q)<\gamma ^{2}$.

當獲得這樣的矩陣三元組時，問題的解可以表示為

$L=X^{-1}W$.

2. 當且僅當存在矩陣 V，對稱矩陣 Z 和對稱矩陣 Y，使得

$A^{T}Y+C_{1}^{T}V^{T}+YA+VC_{1}+C_{2}^{T}C_{2}<0$,

${\begin{bmatrix}-Z&(YB_{2}+VD_{2})^{T}\\YB_{2}+VD_{2}&-Y\end{bmatrix}}<0$,

跡 $(Z)<\gamma ^{2}$.

當獲得這樣的矩陣三元組時，問題的解可以表示為

$L=Y^{-1}V$.

在實際應用中，我們通常關注的是找到最小衰減水平 $\gamma$ 的問題。這個問題可以透過以下最佳化問題解決：

最小化 $\rho$

使得 ${\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}<0$,

${\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0$,

${\text{trace}}(Q)<\gamma ^{2}$,

或者

最小化 $\rho$

$A^{T}Y+C_{1}^{T}V^{T}+YA+VC_{1}+C_{2}^{T}C_{2}<0$

${\begin{bmatrix}-Z&(YB_{2}+VD_{2})^{T}\\YB_{2}+VD_{2}&-Y\end{bmatrix}}<0$

跡 $(Z)<\gamma ^{2}$

當獲得最小ρ時，最小衰減水平為 $\gamma ={\sqrt {\rho }}$.

正在進行，將新增其他參考

外部連結

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。