控制中的LMI/pages/mixh2hinfdesiredpole4perturbed

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 帶有期望極點位置的控制器，用於擾動系統的情況

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 輸出反饋控制一直被認為是多目標最優控制問題的一個例子。在這個問題中，控制反饋應該對多個規範做出適當的響應。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中， $H_{\infty }$ 通道用於提高設計的魯棒性，而 $H_{2}$ 通道保證了系統的良好效能，並使用額外的約束將極點置於期望的位置。

系統

我們考慮線性系統的以下狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+\Delta A)x+(B_{1}+\Delta B_{1})u+B_{2}w\\z_{\infty }&=C_{\infty }+D_{\infty 1}u+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=C_{2}x+D_{21}u\end{aligned}}$

其中

$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $z_{2},z_{\infty }\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別為狀態向量和輸出向量

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ ， $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別為擾動向量和控制向量

其中， $A$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{\infty }$ 、 $C_{2}$ 、 $D_{\infty 1}$ 、 $D_{\infty 2}$ 和 $D_{21}$ 是相應維度的系統係數矩陣。

$\Delta A$ 和 $\Delta B_{1}$ 是表示時變引數不確定性的實值矩陣函式。

此外，引數不確定性 $\Delta A$ 和 $\Delta B_{1}$ 的形式為 $[\Delta A\,\,\,\,\,\Delta B_{1}]=HF[E_{1}\,\,\,\,\,E_{2}]$ ，其中

$H$ 、 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 是已知矩陣，且具有適當的維度。
$F$ 是一個包含不確定性的矩陣，它滿足

$F^{T}F<I$

資料

我們假設系統的四個矩陣， $A$ ， $\Delta A$ ， $B_{1}$ $\Delta B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{\infty }$ ， $C_{2}$ ， $D_{\infty 1}$ ， $D_{\infty 2}$ 和 $D_{21}$ 是已知的。

最佳化問題

對於具有以下反饋律的系統
$u=Kx$
可以得到閉環系統
${\begin{aligned}{\dot {x}}&=((A+\Delta A)+(B_{1}+\Delta B_{1})K)x+B_{2}w\\z_{\infty }&=(C_{\infty }+D_{\infty 1}K)x+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=(C_{2}+D_{21}K)u\end{aligned}}$

傳遞函式矩陣是 $G_{z\infty w}(s)$ 和 $G_{z2w}(s)$
因此，系統的 $H_{\infty }$ 效能和 $H_{2}$ 效能要求分別為
$||G_{z\infty w}(s)||_{\infty }<\gamma _{\infty }$
並且
$||G_{z2w}(s)||_{2}<\gamma _{2}$
. 為了系統響應效能，我們引入閉環特徵值位置要求。令
$D={s|s\in C,L+sM+sM^{T}<0},$
它是在複平面上一個區域，可以用來約束閉環特徵值位置。因此設計一個狀態反饋控制律，使得

$H_{\infty }$ 效能和 $H_{2}$ 效能都得到滿足。
閉環特徵值都位於 $D$ 中，即

$\,\,\,\,\,$ $\lambda (A+B_{1}K)\subset D$ .

LMI: 混合 $H_{2}$ / $H_{\infty }$ 以及所需極點位置的 LMI

如果存在標量 $\alpha ,\,\,\,\beta$ 、兩個對稱矩陣 $X,Z$ 和一個矩陣 $W$ ，滿足

最小化 $c_{2}\gamma _{2}^{2}+c_{\infty }\gamma _{\infty }$
受制於
${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}\Psi (X,W)&B_{2}&(C_{\infty }X+D_{\infty 1}W)^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{\infty }I&D_{\infty 2}^{T}&0\\C_{\infty }X+D_{\infty 1}W&D_{\infty 2}&-\gamma _{\infty }I&0\\(E_{1}X+E_{2}W)&0&0&-\alpha I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}\langle AX+B_{1}W\rangle +B_{2}B_{2}^{T}+\beta HH^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\E_{1}X+E_{2}W&-\beta I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X+D_{21}W\\(C_{2}X+D_{21}W)^{T}&-X\\\end{bmatrix}}>0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{2}^{2}\\&L\otimes +M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0\\\end{aligned}}$