控制中的 LMI/頁面/二次多面體 H2 最優狀態反饋控制

控制中的 LMI/頁面/二次多面體 H2 最優狀態反饋控制

二次多面體全狀態反饋最優 $H_{2}$ 控制

對於具有多面體不確定性的系統，全狀態反饋是一種控制技術，它試圖根據給定的效能規範將系統的閉環系統極點置於指定位置，例如要求穩定性或限制輸出的過沖。透過最小化$H_{2}$ 系統的範數，我們正在最小化噪聲對系統的影響，作為效能規範的一部分。

系統

考慮具有以下狀態空間表示的系統。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}q(t)+B_{2}w(t)\\p(t)&=C_{1}x(t)+D_{11}q(t)+D_{12}w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$q\in \mathbb {R} ^{n}$，$w\in \mathbb {R} ^{g}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{mxg}$，$p\in \mathbb {R} ^{p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{pxm}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{pxn}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{pxg}$，$z\in \mathbb {R} ^{s}$，$C_{2}\in \mathbb {R} ^{sxm}$，$D_{21}\in \mathbb {R} ^{sxn}$，$D_{22}\in \mathbb {R} ^{sxg}$ 對任何 $t\in \mathbb {R}$。

為系統矩陣新增不確定性

$A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12}$

新的狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B_{1}+B_{i})q(t)+(B_{2}+B_{i})w(t)\\p(t)&=(C_{1}+C_{i})x(t)+(D_{11}+D_{i})q(t)+(D_{12}+D_{i})w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

資料

這個 LMI 所需的矩陣是

最佳化問題

回顧狀態反饋下的閉環是
$S(P,K)=$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A+B_{22}F&&B_{1}\\C_{1}+D_{12}F&&D_{11}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

這個問題可以被公式化為 $H_{2}$ 最優狀態反饋，其中 K 是一個控制器增益矩陣。

LMI: 用於二次多面體 $H_{2}$ 最優的 LMI

狀態反饋控制
$||S(P(\Delta ),K(0,0,0,F))||_{H_{2}}\leq \gamma$
$X>0$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AX+B_{2}Z+XA^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}&&B_{1}\\B_{1}^{T}&&-I\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}X+B_{2,i}Z+XA_{i}^{T}+Z^{T}B_{2,I}^{T}&&B_{1,i}\\B_{1,i}^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X&&(C_{1}X+D_{12}Z)^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&&W\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&(C_{1,i}X+D_{12,i}Z)^{T}\\C_{1,i}X+D_{12,i}Z&&0\end{bmatrix}}>0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\\TraceW<\gamma \end{aligned}}$

結論

透過 $F=ZX^{-1}$ 可得到 $H_{2}$ 最優狀態反饋控制器。

實現

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/H2_optimal_statefeedback_controller.m

相關 LMI

$H_{2}$ 最優狀態反饋控制器

外部連結

• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性及其應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。