控制中的LMI/頁面/降階狀態估計

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在本頁中，我們研究了一種用於線性系統降階觀測器設計問題的LMI方法。

系統設定

${\dot {x}}=Ax+Bu$

$y=Cx$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n},\ u\in \mathbb {R} ^{r},{\text{ and }}y\in \mathbb {R} ^{m}$分別表示狀態向量、輸入向量和輸出向量。不失一般性，假設秩$(C)=m\leq n$。

在線性系統的降階狀態觀測器設計中，以下引理起著基礎作用。

引理

給定線性系統，並設$R\in \mathbb {R} ^{(n-m)\times n}$為任意選擇的矩陣，使得矩陣

$T={\begin{bmatrix}C\\R\end{bmatrix}}$

非奇異，則

$CT^{-1}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\end{bmatrix}}$.

此外，設

$TAT^{-1}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$, $A_{11}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$,

則矩陣對$(A_{22},A_{12})$可檢測當且僅當$(A,C)$可檢測。

設

$Tx={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$, $TB={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\end{bmatrix}}$,

則由前三個方程中的關係可知，系統等價於

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\end{bmatrix}}u$,

$y=x_{1}$

在等效系統中，子狀態向量$x_{1}$ 直接等於原始系統的輸出$y$。因此，為了重構原始系統狀態，我們只需獲得子狀態向量$x_{2}$的估計值，即${\hat {x}}_{2}$，來自先前的等效系統。一旦獲得估計值${\hat {x}}_{2}$，就可以得到$x(t)$（即原始系統狀態向量）的估計值，表示為

${\hat {x}}(t)=T^{-1}{\begin{bmatrix}y(t)\\{\hat {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}$.

問題描述

對於等效的連續時間線性系統，設計一個降階狀態觀測器，其形式為

${\dot {z}}=Fz+Gy+Hu$

${\hat {x}}_{2}=Mz+Ny$

使得對於任意控制輸入$u(t)$，以及任意初始系統值$x1(0),\ x2(0),{\text{ and }}z(0)$，都成立

${\text{lim}}_{t\rightarrow \infty }(x_{2}(t)-{\hat {x}}_{2}(t)=0$.

解/定理

問題有解當且僅當以下兩個條件之一成立

1. 存在一個對稱正定矩陣P和一個矩陣W滿足

$PA_{22}+A_{22}^{T}P+WA_{12}+A_{12}^{T}W^{T}<0$

2. 存在一個對稱正定矩陣P滿足

$PA_{22}+A_{22}^{T}P-A_{12}A_{12}^{T}<0$

在這種情況下，可以根據問題得到一個降階狀態觀測器，其中

$F=A_{22}+LA_{12},\ G=(A_{21}+LA_{11})-(A_{22}+LA_{12})L,$

$H=B_{2}+LB_{1},\ M=I,\ N=-L,$

其中

$L=P^{-1}W$，其中W和$P>0$是第一個不等式條件的可行解對，或者$L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}A_{12}^{T}$，其中$P>0$是第二個不等式條件的解。

尚未完善，將新增其他參考文獻

外部連結

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。

• [1] - 控制系統分析、設計和應用中的LMI