控制中的LMI/pages/Lure系統的穩定性

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)\\p_{i}(t)&=\phi _{i}(q_{i}(t)),i=1,\dots ,n_{p}\\q&=C_{q}x,\\0&\leq \sigma \phi _{i}(\sigma )\leq \sigma ^{2}\ \forall \sigma \in \mathbb {R} \end{aligned}}$

資料

矩陣 $A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z}$.

LMI：Lure系統的穩定性

以下可行性問題應作為上述Lure系統穩定性的充分條件來解決。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P>0,\Lambda =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n_{p}})\succeq 0,T=diag(\tau _{1},\dots ,\tau _{n_{p}})\succeq 0:\\&{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB_{p}+A^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda +C_{q}^{\top }T\\B_{p}^{\top }P+\Lambda C_{q}A+TC_{q}&\Lambda C_{q}B_{p}+B_{p}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda -2T\end{bmatrix}}\prec 0\\\end{aligned}}$

實現

https://codeocean.com/capsule/0232754/tree

結論

如果具有LMI約束的可行性問題有解，則Lure系統是穩定的。

備註

LMI 只是存在 Lur’e Lyapunov 函式的充分條件，該函式證明了 Lur'e 系統的穩定性。當只有一個非線性，即 $n_{p}=1$ 時，它也是必要的。

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMIs 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。