控制中的LMI/pages/切換系統的D穩定化

切換系統的D穩定控制器

此LMI允許您指定所需的效能指標，例如上升時間、穩定時間和超調百分比。請注意，在穩定系統之間任意切換會導致不穩定，而在單個不穩定系統之間切換可以實現穩定性。

系統

假設我們得到了一個切換系統，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 工作模式

資料

為了正確定義複平面上極點可接受的區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 超調百分比 ($M_{p}$)

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。我們首先必須使用以下不等式約束定義複平面上極點可接受的區域

上升時間: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是復極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這使我們能夠修改我們的不等式約束，如下所示

上升時間: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅使我們能夠映射覆極點位置與不等式約束之間的關係，而且現在還使我們能夠輕鬆地為這個問題制定我們的 LMI。

LMI： 二次 D 穩定性 LMI

假設存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0\\A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

for $i=1,...,k$

結論

得到的控制器可以透過以下公式恢復

$K=ZP^{-1}$.

實施

該LMI的實施需要Yalmip和Sedumi /MOSEK[1]

外部連結

一系列記錄和驗證LMI的參考文獻。

• 最佳和魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於控制中LMIs的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - Stephen Boyd編寫的關於LMIs的可下載書籍。