線性代數/線性變換

線性變換 是數學中一個重要的概念，因為許多現實世界現象可以用線性模型來近似。

與線性函式不同，線性變換不僅作用於數字，也作用於向量。

動機和定義

假設我們有向量 ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，我們將其旋轉 90 度，得到向量 ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

另一個例子，我們不旋轉向量，而是拉伸它，所以向量 $\mathbf {v}$ 變為 $2\mathbf {v}$，例如 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 變為 ${\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$

或者，如果我們看一下一個向量在 x 軸上的投影 - 提取它的 x 分量 -，例如從 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 中得到 ${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

這些例子都是兩個向量之間對映的例子，並且都是線性變換。如果變換矩陣的規則稱為$T$，我們通常寫$T\mathbf {v}$來表示向量$\mathbf {v}$ 透過規則$T$ 的對映。 $T$ 通常被稱為變換。

注意我們並不總是像寫函式那樣寫括號。但是我們應該寫括號，尤其是在我們要表達多個向量的和或積或組合的對映時。

定義

線性運算元

假設有一個域 K，並設 x 為該域中的一個元素。設 O 為從 K 取值的函式，其中 O(x) 是域 J 中的一個元素。定義 O 為線性形式，當且僅當

1. O(x+y)=O(x)+O(y)
2. O(λx)=λO(x)

線性形式

假設有一個向量空間 V，並設 x 為該向量空間中的一個元素。設 F 為從 V 取值的函式，其中 F(x) 是域 K 中的一個元素。定義 F 為線性形式，當且僅當

1. F(x+y)=F(x)+F(y)
2. F(λx)=λF(x)

線性變換

這一次，我們不考慮域，而是考慮從一個向量空間到另一個向量空間的函式。設 T 為從一個向量空間 V 取值的函式，其中 L(V) 是另一個向量空間的元素。當 T

1. 保持標量乘法: T(λx) = λTx
2. 保持加法: T(x+y) = Tx + Ty

注意，並非所有變換都是線性的。現實世界中許多簡單的變換也是非線性的。它們的研究更加困難，這裡不做討論。例如，變換S（其輸入和輸出都是R²中的向量）定義為

$S\mathbf {x} =S{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xy\\\cos(y)\end{pmatrix}}$

我們可以透過研究更簡單的線性變換來學習非線性變換。

我們通常以以下方式描述變換 T

$T:V\rightarrow W$

這意味著 T，無論它是什麼變換，都將向量空間 V 中的向量對映到向量空間 W 中的向量。

實際變換可以寫成，例如

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\end{pmatrix}}$

示例和證明

這裡是一些線性變換的例子。同時，讓我們看看如何證明我們可能發現的變換是線性的還是非線性的。

投影

讓我們將R²中的向量投影到x軸上的向量。讓我們將這個變換稱為 T。

我們知道 T 將R²中的向量對映到R²中，所以我們可以說

$T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$

然後我們可以將變換本身寫成

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}$

顯然這是線性的。（你能在不看下面內容的情況下理解為什麼嗎？）

讓我們透過一個證明來驗證定義中的條件是否成立。

保持標量乘法

我們要證明對於所有向量v和所有標量λ，T(λv)=λT(v)。

令

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}$.

那麼

$\lambda \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}$

現在

$T(\lambda \mathbf {v} )=T{\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

如果我們計算λT(v)並發現它與上面的向量相同，我們就證明了我們的結果。

$\lambda T\mathbf {v} =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

這與上面的向量相同，因此在變換T下，標量乘法保持不變。

加法保持不變

我們要證明對於所有向量x和y，T(x+y)=Tx+Ty。

令

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}$.

以及

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}$.

現在

$T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=T\left({\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\right)=$

$T{\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\x_{1}+y_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

現在，如果我們能證明Tx+Ty等於上面的向量，我們就證明了這個結果。然後繼續，

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+T{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

因此，我們可以說變換 T *保持加法*。

零向量被保留

顯然，我們有

$T{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

結論

我們已經證明了 T 保持加法、標量乘法和零向量。因此 T 必須是線性的。

線性性的反證

當我們想要*反證*線性——也就是說，*證明*一個變換*不是*線性的，我們只需要找到一個反例。

如果我們能找到一個變換不保持加法、標量乘法或零向量的例子，我們就可以得出結論，該變換不是線性的。

例如，考慮變換

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{3}\\y^{2}\end{pmatrix}}$

我們懷疑它不是線性的。為了證明它不是線性的，取向量

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

那麼

$T(2\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}64\\16\end{pmatrix}}$

但是

$2T(\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}16\\8\end{pmatrix}}$

因此我們可以立即說 T 不是線性的，因為它不保持標量乘法。

習題

根據以上內容，判斷以下變換是否線性。將每個變換寫成 T:V -> W 的形式，並確定 V 和 W。（偶數題答案如下）

1. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}^{2}+v_{1}\\v_{1}\end{pmatrix}}$
2. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\v_{0}\end{pmatrix}}$
3. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}$
4. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}-v_{2}\\v_{1}\end{pmatrix}}$

答案

2. 否。檢查零向量是否保持，可以立即確認這一事實。T : R² -> R²

4. 是。T : R³ -> R²。

像與核

我們有一些線性變換的基本概念，例如線性變換的核和像，它們類似於函式的零點和值域。

核

線性變換 T: V -> W 的核是 V 中所有對映到 W 中零向量的向量的集合，即，

$\mathrm {ker} \ T=\{v\in V\ |\ T\mathbf {v} =\mathbf {0} \}$

由於矩陣方程 Ax=0，兩者巧合。

變換 T: V->W 的核總是 V 的子空間。變換或矩陣的維數稱為零度。

像

線性變換 T:V->W 的像是 W 中所有從 V 中向量對映的向量的集合。例如，對於平凡對映 T:V->W，使得 Tx=0，像將是 0。（核是什麼？）。

更正式地說，我們說變換 T:V->W 的像是一組

$\mathrm {im} \ T=\{w\in W\ |\ w=T\mathbf {v} \ \mathrm {and} \ \mathbf {v} \in V\}$

同構

如果線性變換 T:V -> W 是

• 一對一且滿射的。
• 核(T) = {0} 且值域(T) = W。
• T 的逆存在。
• dim(V) = dim(W)。