宏觀經濟學/數學回顧

簡介

我們有一個貝爾曼方程，首先我們想知道是否存在一個滿足該方程的值函式，其次我們想知道這種解的性質。為了回答這個問題，我們將定義一個對映，它將一個函式對映到另一個函式，而該對映的一個不動點將是一個解。我們討論的對映是函式集上的對映，這有點抽象。所以今天我們將看看數學回顧。

所以首先我們考慮一個集合，$S\subset \mathbb {R} ^{l}$，對我們來說，它將與描述集合中任意兩點之間的某種距離有關。我們將使用度量的概念。

度量

度量是一個函式$\rho :S\times S\to \mathbb {R}$，它具有非負性、$\rho (x,y)\geq 0$、對稱性、$\rho (x,y)=\rho (y,x)$，並滿足三角不等式，$\rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z)$。

一個常見的度量是歐幾里得距離，$\rho _{E}(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{l}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$，另一個是$\rho _{max}(x,y)=\max _{1\leq i\leq l}x_{i}-y_{i}$。

空間

空間，是具有一些一般屬性和結構的物件集合

我們可能對度量空間感興趣，即具有度量空間的，例如，$(S,\rho )$，其中 $S$ 是所有有界有理函式的集合，而 $\rho$ 是某個距離函式。一旦我們有了度量空間，我們就可以討論收斂性和連續性。

收斂

一個數列，$\{x_{i}\}\subset S$，收斂到$x$，$x_{i}\rightarrow x$，如果$\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon }$ 使得$\rho (x_{n},y_{n})<\epsilon$ 對所有$n>N_{\epsilon }$ 成立。

柯西序列

一個數列，$\{x_{i}\}\subset S$，被稱為柯西序列，如果$\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon }s.t.\rho (x_{n},y_{m})<\epsilon$ 對所有$n,m>N_{\epsilon }$ 成立。

問題：每個柯西序列都會收斂嗎？

完備性

度量空間，$(S,\rho )$ 是完備的，如果每個柯西序列都收斂。

完備性的例子

• $(\mathbb {R} ,\rho _{E})$ 是完備的。
• $((0,1),\rho _{E})$ 不是完備的。證明：令$x_{n}={\frac {1}{n+2}}$，所以$\{x_{n}\}$ 是柯西序列，但它不會收斂到我們集合 $(0,1)$ 中的任何點。
• $([0,1],\rho _{E})$ 是完備的。所有閉集都是完備的嗎？完備空間的閉子空間是完備的。
• $(\{0,1,2\},\rho _{E})$ 是完備的。

壓縮對映

一個對映$T:S\rightarrow S$ 在度量空間$(S,\rho )$ 上是 **壓縮對映**，如果$\exists o\geq \beta <1$ 使得$\rho (tx,Ty)\leq \beta \rho (x,y)\forall x,y\in S$，有時我們寫 $T(x)$ 而不是 $TX$，

這意味著我們集合中的任意兩點$S$，在對映後，兩點之間的距離會縮短。

壓縮對映的例子

• $Tx=.9x$ 在$[(0,1],\rho _{E})$ 上是一個壓縮對映，

現在我們陳述 **壓縮對映定理**。

壓縮對映定理

如果$(S,\rho )$ 是完備的並且 $T:s\rightarrow S$ 是壓縮對映，那麼$\exists !x^{*}$ 使得 $Tx^{*}=x^{*}$，

我們將在後面為一般度量空間證明這個定理。但是，我們必須記住，證明中需要空間是完備的。

現在讓我們看看驗證對映是否為壓縮對映的標準。

壓縮對映標準

對於 $S\subset \mathbb {R} ^{l}$ 以及 $\rho =\rho _{E}$，假設 $T:S\rightarrow S$ 滿足以下兩個條件

• (M, 單調性條件) $\forall x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})\in S$ 以及 $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})\in S$，並且 $T=(T_{1},T_{2},\ldots ,T_{l}$，如果 $x_{i}\geq y_{i}\Leftrightarrow x\geq y$ 那麼 $T_{i}x\geq T_{i}y\Leftrightarrow Tx\geq Ty$，
• (D, 折扣條件) $\forall x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})\in S$，對於 ${\underline {\vec {a}}}=(a,a,\ldots ,a)$，$T_{i}(x_{1}+a,x_{2}+a,\ldots ,x_{l}+a)\leq T_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})+\beta a\forall i\Leftrightarrow T(x+{\underline {a}})\leq TX+\beta {\underline {a}}$.

那麼 $T$ 是一個壓縮對映。