宏觀經濟學/最優增長

最優增長

假設和故事

最優增長的主題通常會提到一個單人經濟體，該經濟體處理單一商品。例如，魯濱遜漂流記可能被困在一個只有一個商品的島嶼上，也許是椰子，用$c$表示。在這種情況下，只是為了好玩，我們可能希望魯濱遜永遠活下去，但現在我們可以讓他有一個有限的壽命。這個假設改變了我們將如何處理這個問題，有限的壽命本身就適合變分法或哈密頓分析方法，而無限的壽命通常需要遞迴方法。同樣，我們的一種商品是消耗的，並且每天用於“一次性”生產。

模型

在這個模型中，我們有一種商品，$c\in C\subseteq \mathbb {R}$.

我們的代理有一個遞增（或至少是非遞減）效用函式，$u:C\to \mathbb {R_{+}}$.

經濟中的生產函式是非遞減的$f:C\to \mathbb {R_{+}}$。出於某種原因，我們使用$k$作為此函式的自變數。我們將在談論我們的一分鐘內的約束條件時看到c和k之間的關係。

魯濱遜希望在他生活的期間最大化他的效用，但他可能以$\beta$的比率來貼現未來，因此我們可以寫出我們的目標函式$\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})$，其中$c_{t}$是在時間$t$（目前我們正在考慮一個離散時間模型）消費的量。

我們希望我們的解決方案是可行的，因此我們的序列$\{c_{0},c_{1},\ldots \}$必須是“可能的”。為了做到這一點，我們需要該序列滿足約束條件，即消耗的$c$加上明天用於生產的$k$必須小於或等於生產的量。我們將以給定的椰子初始稟賦$k_{0}$作為已知條件。所以我們的問題是

$\max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})$

使得 $0\leq c_{t}+k_{t+1}\leq f(k_{t})$

有限T的解

由於我們的函式f和u是非遞減的，我們可以將我們的問題改寫為

$\max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(f(k_{t})-k_{t+1})$

使得 $k_{t+1}\leq f(k_{t})$ 對於 $t=0,1,\ldots ,T-1$

我們可以使用變分法（尤拉方程）或對$k_{t+1}$的拉格朗日函式的一階條件來解決這個問題，因此我們得到

$u^{\prime }\left(f(k_{t})-k_{t+1}\right)=\beta u^{\prime }\left(f(k_{t+1})-k_{t+2}\right)f^{\prime }(k_{t+1})$ 對於 $t=0,1,\ldots ,T-1$.

給定 $k_{0}$，魏爾斯特拉斯定理保證了這個問題有解，因為目標函式是連續的，約束集是封閉且有界的（因此是緊緻的）。但是，如果T趨於無窮大，我們就無法以這種方式保證有解。對此的討論將在後面進行。

有限T在連續時間上的解

現在，我們不再使用求和，而是可以使用積分來獲得一個類似的連續時間問題。

$\max \int _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(f(k_{t})-k_{t+1})$

使得 $k_{t+1}\leq f(k_{t})$ 對於 $t=0,1,\ldots ,T-1$

我們可以使用變分法（尤拉方程）來解決這個問題，如果需要也可以使用哈密頓量，我們記得它的形式與拉格朗日函式關於$k_{t+1}$的一階條件非常相似。使用尤拉方程，我們得到