海洋水動力學/小振幅波理論

簡介

真實的波浪極其複雜，但幸運的是，許多觀測結果可以用小振幅波理論來解釋，該理論做了許多假設，但大大簡化了相關數學問題。待解決的問題本質上是一個邊界值問題。為了解決這個問題，我們需要找到微分方程和邊界條件。首先，我們將問題表述為一個邊界值問題。

問題描述

微分方程

我們知道水波是在水體中形成的。我們需要找出這些波的基本特性以及哪些引數控制它們。簡而言之，我們需要發展一個水波理論。朝這個目標邁出的第一步是找出在水體自由表面上存在波浪時哪些性質成立。

假設流體是不可壓縮的，並且只發生無旋運動。基本流體動力學告訴我們，將存在一個滿足連續方程的速度勢。因此，以下等式將成立。

$\nabla ^{2}\phi =0$

在三維空間中，這是拉普拉斯方程，寫成

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0$

拉普拉斯方程是線性的，因此任何解都可以線性組合得到更多解。此外，該方程有很多解，但並非所有解都適用於我們的問題。我們將根據邊界條件選擇我們的解。

底部邊界條件

在底部，我們基本上看到必須滿足運動學條件。這意味著在任何介面處，都不能有流體穿過介面。流體不能穿過底部。我們需要以方程的形式表達這種限制，以形成底部邊界條件。如果我們想象我們相對於表面是固定的，那麼水面的全導數將為零，因為我們隨水面運動。因此，在任何表面上，

${\frac {DF(x,y,z,t)}{Dt}}=0$

簡化這個方程，我們得到的結果是

${\vec {u}}\cdot {\vec {n}}={\frac {\partial F/\partial t}{|\nabla F|}}$ 在底部表面。

現在讓我們想象我們有一個由 $z=h(x,y)$ 描述的底部。上述條件公式導致我們得到一個簡單的結果

$u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}+w=0$

自由表面邊界條件

就自由表面條件而言，必須滿足兩個基本條件。首先，運動學條件必須如底部邊界條件的推導中所述那樣被考慮，然後我們還需要考慮動力學自由表面條件。

運動學自由表面條件

如上所述，運動學條件由以下給出

${\frac {DF(x,y,z,t)}{Dt}}=w$

如果水面由 $z=\eta (x,y,t)$ 定義，則

$w=\left.{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+v{\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right\|_{z=\eta (x,y,t)}$

動態自由表面條件

水面不是固定表面，也不是可以抵抗壓力變化的表面。因此，表面上的壓力被認為是恆定的，並且以下等式在表面上成立。

$-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2}+w^{2})+gz=0$

橫向條件

這些條件取決於問題的具體情況。它可能需要對海灘或造波器進行建模。目前，我們將忽略問題的這部分，並進行沒有橫向限制的分析。我們將在稍後研究一些橫向條件。

其他條件

除了上述邊界條件外，從問題的物理性質可以看出，解在空間和時間上都必須是週期性的。

解

如果我們尋找的是波浪解，假設表面是 $\eta (x,y,t)=a\cos(kx+ly-\omega t)$。給定這個選擇 $\eta$，邊界條件表明勢能應採用以下形式

$\phi (x,y,z,t)=f(z)\sin(kx+ly-\omega t)$

應用動態自由表面邊界條件後，我們得到色散關係

$\omega ^{2}=gk\tanh(kH)$

或者等效地，

$c={\sqrt {g/k\tanh(kH)}}$

特殊情況

淺水極限

深水極限