電子材料/能級填充原理

泡利不相容原理

泡利不相容原理指出，兩個費米子（具有半整數自旋的粒子，如電子、質子、中子）不能具有相同的波函式。該原理遵循量子力學中 旋轉算符 的定義，其推導超出了本書的範圍。更多資訊可以在 維基百科頁面 上找到。

這對任何維度的量子阱意味著，對於每個量子態，只能存在兩個電子 - 一個自旋向下，一個自旋向上。

能級填充原理

能級填充原理，源於德語“Aufbau”意為“構建”，指出阱中的電子傾向於首先佔據最低的可用能級，然後再佔據更高的能級。在使用更高能級之前，最低能級將同時具有自旋向上和自旋向下的電子。

一維勢阱

下圖顯示了一個被電子填充的一維量子阱。電子用向上箭頭表示自旋向上，用向下箭頭表示自旋向下。只被一個電子佔據的態用黃色表示，被兩個電子佔據的態用紅色表示。

當一個態只有一個電子時，它可以是自旋向上或自旋向下。但是，根據泡利不相容原理，當一個態中有兩個電子時，必須有一個自旋向上，一個自旋向下。

二維勢阱

當我們有一個二維勢阱時，我們可以將所有可能的態繪製在一個二維陣列中。這被稱為態空間。下圖顯示了一個包含 39 個電子的量子阱（19 個完全填充的態，一個半填充的態）。

給定態的能量由下式給出：

$E_{n_{x},n_{y}}$	$=\,$	${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {n_{x}\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}\right)^{2}\right]$
	$=\,$	${\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}\right)$

注意，從原點到態空間中態的距離由勾股定理給出：

$d={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}}}$

這意味著一個態的能量與態空間中從原點到該態的距離的平方成正比。根據能級填充原理，最靠近原點的態首先被電子填充。

簡併和洪特規則

現在，考慮一個方形二維盒中的兩個波函式 ψ_1,2 和 ψ_2,1。這兩個波函式由下式給出：

$\psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{0}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L}}\right)$

下面顯示了波函式及其相關的能量。

$z=\psi _{1,2}\,$	$z=\psi _{2,1}\,$
$E_{1,2}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {2\pi }{L}}\right)^{2}\right]$	$E_{2,1}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {2\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{L}}\right)^{2}\right]$

我們可以很容易地看出這兩個能量是相同的。具有相同能量的波函式被稱為 **簡併**。當阱被填充時，這兩個狀態中的任何一個都不會比另一個更優先地獲得第一個電子。然而，一旦一個狀態有一個電子，一個叫做 **洪特規則** 的原理規定，另一個狀態將獲得下一個電子，然後再給第一個狀態填充第二個電子。因此，在任何時候只有一個狀態是半充滿的。

三維阱