電子材料/氫原子

氫原子是最簡單的原子，包含一個質子和一個電子。

為了確定原子電子的波函式，我們必須用單個質子的庫侖勢解三維薛定諤波方程

-{\frac {\hbar }{2m}}\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\right)\psi \left(x,y,z\right)+V\left(x,y,z\right)\psi \left(x,y,z\right)=E\psi \left(x,y,z\right)

V\left(x,y,z\right)=V\left(r\right)=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}

我們將波函式重新表示為球座標

\psi (x,y,z)=\psi (r,\theta ,\phi )\,

如果沒有角依賴性，我們可以簡單地解出徑向分量r。

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}={\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}

然後氫原子徑向解的薛定諤方程為

-{\frac {\hbar }{2m}}\left({\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)\psi \left(r\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi \left(r\right)=E\psi \left(r\right)

基態

對於最低能量狀態，可以用以下試探解解該微分方程

\psi (r)=\psi _{0}e^{-ar}\,

代入後，我們得到

-{\frac {\hbar }{2m}}\left(a^{2}e^{-ar}-{\frac {2ae^{-ar}}{r}}\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}e^{-ar}=Ee^{-ar}

-{\frac {\hbar }{2m}}\left(a^{2}-{\frac {2a}{r}}\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}=E

r⁰ 和 r⁻¹ 的係數必須分別滿足

-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}=E

-{\frac {\hbar ^{2}a}{m}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}=0

因此，我們獲得了 a 和 E 的值

a={\frac {e^{2}m}{4\pi \hbar ^{2}\epsilon _{0}}}\approx {\frac {1}{0.05{\mbox{ nm}}}}

E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\approx 13.8{\mbox{ eV}}

高能級具有更復雜的波函式

\psi _{n}(r)=\psi _{0}e^{-a_{n}r}L_{n}(r)\,

其中 L_n(r) 是拉蓋爾多項式的 n 階。這裡不重要如何得出這個結果——更詳細的解釋，請參考量子力學華夏公益教科書。相關的能量為

E_{n}=-{\frac {me^{2}}{32n^{2}\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\approx -{\frac {13.6}{n^{2}}}{\mbox{ eV}},\quad \quad n=1,2,3,\ldots

當 n 增大時，能級越來越接近，能量接近零。n = ∞ 對應於真空能級，此時電子脫離質子。電子可以透過吸收（向上移動）或發射（向下移動）正確的能量在這些能級之間移動。

對於每個 n，都存在一個球形解，其中波函式與角度無關。這些球形軌道被稱為 s 軌道。

波函式的完整解具有四個量子數

\psi _{n,l,m,s}(r,\theta ,\phi ),\quad l=0,1,\ldots ,n-1,\quad m=-l,\ldots ,+l,\quad s=-{\frac {1}{2}},+{\frac {1}{2}}

例如，當 n = 2 且 l = 1 時，存在三個解，對應於 m = −1,0,1。這些被稱為 p 軌道。最多六個電子可以佔據 p 軌道——每個解兩個，一個自旋向上，一個自旋向下。