非技術人員的數學/概述：收斂準則

級數收斂和發散的決策樹

我們已經介紹了級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 作為部分和 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 的序列。如果部分和序列收斂，則序列收斂。否則，該級數發散。假設級數收斂，我們定義級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 的無窮和的值等於該序列的極限。

在本章中，我們將研究不同的準則或檢驗，以確定級數是否收斂。在接下來的章節中，我們將更深入地研究每個準則，併為每個準則提供證明。

收斂準則

我們將在每個準則的主條目中為以下命題提供證明。給定級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$。有許多準則可以用來檢查收斂性

絕對收斂

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定理 (絕對收斂)

如果級數絕對收斂，那麼它也收斂。因此，如果 $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ 收斂，那麼 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也收斂。

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柯西準則

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定理 (柯西準則)

對於所有 $\varepsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得 $\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ 對於所有 $n\geq m\geq N$。那麼該級數收斂。

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萊布尼茨準則

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定理 (萊布尼茨準則)

如果級數的形式為 $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}$，並且如果序列 $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是非負單調遞減的零序列，那麼該級數是收斂的。

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支配判別法

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定理 (支配判別法)

設 $|a_{k}|\leq b_{k}$ 對所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ 是收斂的，那麼級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是絕對收斂的。

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比值判別法

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定理 (比值判別法)

設 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是一個級數，其中 $a_{k}\neq 0$ 對所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果存在一個 $\theta <1$ 和一個 $N\in \mathbb {N}$，使得 $\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq \theta$ 對所有 $k\geq N$ 成立，那麼級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是絕對收斂的。特別是，如果 $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$ 或 $\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$。

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根值判別法

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定理 (根式判別法)

如果 $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$，則級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是絕對收斂的。特別是，如果 $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$，則結論也成立。

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柯西濃縮判別法

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定理 (柯西濃縮判別法)

設 $(a_{k})_{k\geq 1}$ 是一個單調遞減的實值零序列，並且 $a_{k}\geq 0$ 對所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ 是收斂的，那麼 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也是收斂的。

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積分判別法

定理 (積分判別法)

設 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$，即 $a_{k}=f(k)$ 對於函式 $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ 成立。如果 $f$ 在定義域 $[1,\infty )$ 上是一個單調遞減的非負值函式，並且如果 $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x<\infty$，那麼該級數是絕對收斂的。

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發散判據

給定一個級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$。為了證明這個級數是發散的，有許多判別準則。

項測試

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定理 (項測試)

如果 $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 發散或 $\lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0$，則該級數發散。

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柯西判別法

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定理 (柯西判別法)

如果存在一個 $\epsilon >0$，使得對於任意 $N\in \mathbb {N}$，都存在自然數 ${\tilde {n}}\geq {\tilde {m}}\geq N$ 使得 $\left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}a_{k}\right|\geq \epsilon$，則該級數發散。

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下界判別法

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定理 (下界判別法)

令 $a_{k}\geq c_{k}\geq 0$ 對幾乎所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ 發散，那麼級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也發散。

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比值判別法

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定理 (比值判別法發散準則)

如果對於幾乎所有 $k\geq N$（即對於固定 $K\in \mathbb {N}$ 的所有 $k\geq K$），則級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 發散。特別地，當 $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1$ 時，情況也是如此。

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根式判別法

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定理 (根式判別法)

如果 $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$，則級數 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是絕對發散的。特別地，當 $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$ 時，情況也是如此。

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柯西濃縮判別法

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定理 (柯西濃縮判別法)

令 $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是一個單調遞減的實值零序列，對於所有 $k\in \mathbb {N}$，有 $a_{k}\geq 0$。如果 $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ 發散，則 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也發散。

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積分判別法

定理 (積分判別法)

令 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$，因此 $a_{k}=f(k)$，對於函式 $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$。如果 $f$ 在 $[1,\infty )$ 上是一個單調遞減的非負函式，並且如果 $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\infty$，則該級數發散。

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收斂與起始索引無關

在關於柯西判定的部分，我們看到起始索引與收斂性的研究無關。如果我們有一個形式為 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 的級數，我們也可以考慮級數 $\sum _{k=10}^{\infty }a_{k}$ 或 $\sum _{k=4223}^{\infty }a_{k}$。唯一的區別是起始索引 $k$。這些級數都具有相同的收斂性。因此請記住

如果我們移除或改變有限多個求和項，級數的個體值當然會發生變化，但收斂性保持不變。這一事實很有用，你應該時刻牢記它。在那些你不關心級數的精確值，而只關心它是否收斂的情況下，這會很有用。

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