非極客數學/什麼是分析？

什麼是分析？

大學數學中通常要上的第一個高階課程是分析和線性代數（線性代數是代數領域的一部分）。分析和代數都是現代數學的基礎，它們本身都是建立在集合論之上的。為了從正確的方向開始學習數學，重要的是未來的學生在這些領域都得到很好的訓練並感到舒適。因此，在本專案中，我們將把大部分時間和精力集中在分析和代數上。但是這兩個課程講的是什麼呢？從事分析和代數領域研究的數學家做什麼？他們試圖回答什麼問題？在全面回答這個問題之前，最好先簡要介紹一下每個領域的研究內容。

代數，或者更確切地說一個代數，是一種類似於有理數或實數的“數字空間”。在一個代數中，元素可以相加和相乘。因此，代數在很大程度上也處理從加法和乘法中產生的變換和運算，例如平方根函式，它是從求解二次函式的逆函式得來的，二次函式是一種乘法運算。在代數領域，人們經常想要回答關於如何變換方程以獲得解的問題，以及一個方程是否真的有解。總的來說，代數處理的是方程，而很少處理不等式。

在線性代數中，我們只處理一階（或線性階）方程，這意味著方程中的所有變數或元素的次數最多為一。線性代數中的一個經典問題是，以下形式的方程組是否有解，如果有，解是什麼

${\begin{array}{ccccccccccc}a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{1n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{2n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}&+&a_{m2}\cdot x_{2}&+&a_{m3}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}$

注意，上述方程中的所有$x_{i}$ 的次數都是一（這意味著它們都是“一次方”的變數）。

另一方面，分析處理的是函式的連續性、極限和微積分（計算導數和積分）。例如，如果我們考慮函式

$f\ :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}-9}},$

試圖找到它的根將是一個代數目標。但是，如果我們感興趣的是描述函式在其極點附近的行為，或者當$x\rightarrow \pm \infty$ 時函式的行為，這將是一個分析目標。類似地，研究函式的斜率或曲率也將是分析的。

分析領域中的另一個問題是，是否存在這樣的函式：它們不連續，但其圖形中從未出現“跳躍點”（這個問題的答案是“是”。此外，我們可以問，一個可微函式是否可以有不可微的導數（這個問題的答案也是“是”）或者它的導數是否可以表現出上述的“跳躍點”（在這種情況下，問題的答案是“否”。從最後一條斷言中，我們可以得出結論，具有跳躍點的函式永遠不可能是另一個函式的導數。然而，這個函式可能是可積的。計算這樣一個函式的積分也將是分析的目標。

分析為我們提供了描述函式在任何給定點上如何變化的概念。這些概念在自然科學中很有用，可以用來生成自然規律或科學模型的公式。這也是為什麼分析在自然科學中如此重要的工具。分析數學家研究的是如何預測系統變化，以及如何精確地指定這些預測。

在粗略地概述了數學的基礎之後，我們現在知道在學習分析和代數時會遇到什麼。數學家通常更偏向於某一方面——他們要麼更像一個分析數學家，要麼更像一個代數數學家。然而，實際上，每個領域都無法在不涉及另一個領域的情況下完全被研究。這兩個領域同樣有趣、廣泛且重要。但是，在本專案中，我們將主要關注分析。