非極客數學/什麼是分析？

什麼是分析？

大學數學中通常首先接觸的高階課程是《分析》和《線性代數》（線性代數是《代數》領域的一部分）。分析和代數都為現代數學奠定了基礎，它們本身都是建立在集合論的基礎上的。為了從一開始就正確地學習數學，未來學生必須在這兩個領域得到良好的訓練並感到舒適。因此，我們將在這兩個專案中投入大部分時間和精力，重點關注分析和代數。但這兩種課程是關於什麼的呢？從事分析和代數領域的數學家做些什麼呢？他們試圖回答什麼問題呢？在我們完全詳細地回答這個問題之前，最好先給出每個領域研究內容的一個小例子。

代數，或者更確切地說是“一種代數”，是一種類似於有理數或實數的“數空間”。在代數中，元素可以相加和相乘。因此，代數在很大程度上也處理由加法和乘法產生的變換和運算，例如平方根函式，它源於尋找二次函式的逆函式，這是一種乘法。在代數領域，人們通常想知道如何變換方程以得到解，以及方程是否有解。一般來說，代數處理的是“方程”，很少處理不等式。

在《線性代數》中，我們只處理“一階”（或“線性階”）方程，這意味著方程中所有變數或元素的次數最多為一。線性代數中的一個經典問題是，以下形式的方程組是否有解，如果有，解是什麼

${\begin{array}{ccccccccccc}a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{1n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{2n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}&+&a_{m2}\cdot x_{2}&+&a_{m3}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}$

注意，上式中所有 $x_{i}$ 的次數都是一（這意味著它們都是“一次方”的變數）。

另一方面，《分析》處理的是函式的連續性、極限和微積分（計算導數和積分）。例如，如果我們考慮函式

$f\ :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}-9}},$

嘗試找到它的根將是一個代數目標。但是，如果我們感興趣的是描述函式在極點附近的行為，或者當 $x\rightarrow \pm \infty$ 時的行為，這將是一個分析目標。類似地，研究函式的斜率或曲率也將是分析的。

分析領域中另一個問題是，是否存在函式，它們不連續，但其圖形中永遠沒有“跳躍點”（這個問題的答案是“是”）。此外，我們可以問，可微函式是否可以有間斷導數（這個問題的答案也是“是”），或者其導數是否可以表現出上述“跳躍點”中的一個（在這種情況下，答案是“否”）。從最後一條斷言，我們可以得出結論，具有跳躍點的函式永遠不可能是另一個函式的導數。但是，該函式可能是可積的。計算此類函式的積分也是分析的目標。

分析為我們提供了描述函式在任何給定點如何變化的概念。這些概念在自然科學中很有用，可以用來生成自然規律或科學模型的公式。這也是分析在自然科學中如此重要的工具的原因。分析數學家研究如何預測系統變化，以及如何準確地指定這些預測。

鑑於對數學基礎的這種粗略概述，我們現在知道在學習分析和代數時會期待什麼。數學家通常更喜歡其中一方 - 他們要麼是更多分析數學家，要麼是更多代數數學家。然而，實際上，每個領域都無法真正完全獨立地研究，而無需涉及另一個領域。這兩個領域都同樣有趣，廣闊且重要。但是，在本專案中，我們將主要關注分析。