物理數學方法/解析函式

複分析在物理現象研究中佔有重要地位。複變函式理論的重要性尤其體現在量子力學中，因為複分析只是經典力學中一個有用的工具，但對量子物理學的各種特性至關重要。

複函式

函式$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$是一個複函式。

連續性

令$f$為複函式。令$a\in \mathbb {C}$

$f$在$a$處連續當且僅當對於每個$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得$|z-a|<\delta$意味著$|f(z)-f(a)|<\epsilon$

可微性

令$f$為複函式，令$a\in \mathbb {C}$。

$f$在$a$處可微當且僅當存在$L\in \mathbb {C}$滿足$\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}=L$

解析性

複分析的一個奇蹟是，如果一個複函式 $f$ 在 $\mathbb {C}$ 中的每個點處可微，那麼它對每個 $n\in \mathbb {N}$ 都是可微的，此外，它可以用冪級數表示，即

對於每個 $z_{0}$ 都存在 $a_{0},a_{1}a_{2},\ldots$ 和 $\delta >0$ 使得如果 $|z-z_{0}|<\delta$ 則 $f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots$

這類函式稱為 **解析函式** 或 **全純函式**。

路徑積分

在 $\mathbb {C}$ 中的有限路徑被定義為連續函式 $\Gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$

如果 $f$ 是一個連續函式，則 $f$ 沿路徑 $\Gamma$ 的積分被定義為

$\int _{0}^{1}f(\Gamma (x))dx$，它是一個普通的黎曼積分