物理數學方法/傅立葉變換

傅立葉變換在幾乎所有物理領域都有應用。它們用於將一個變數轉換為另一個變數的空間，這個空間要麼更容易處理，要麼更具資訊量（例如，可以用電場強度來表示電磁波，但對於實際測量，我們希望將波表示為幾個頻率的總和（稱為譜分解））

這與拉普拉斯變換的使用方式類似，但更適合於具有某些振盪行為的函式。

${\tilde {f}}(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi ist}\ dt$ 以及 $f(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(s)e^{2\pi ist}\ ds$

（注意，有些教科書在這些積分前面會有不同的因子）

== 例子

1. 考慮一個電磁波 $E(t)=E_{0}sin(\omega _{0}t)$。確定波的強度作為頻率 $\omega$ 的函式。（對於任何物理專業的學生來說，這波只有一個頻率應該很明顯，所以我們可以用這個事實來檢查我們的最終結果是否與預期相符）

應用傅立葉變換積分： ${\tilde {E}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E_{0}sin(\omega _{0}t)e^{-2\pi i\omega t}\ dt$

為了做到這一點，我們需要記住一些恆等式，

• $sin(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2i}}\$
• $e^{a}e^{b}=e^{a+b}$
• $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i(x-x')t}dt=\delta (x-x')$

使用第一個和第二個恆等式， ${\tilde {E}}(\omega )={\frac {E_{0}}{2i}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }[e^{2\pi i(\omega _{0}+\omega )t}+e^{2\pi i(\omega _{0}-\omega )t}]dt$

從這裡我們可以看到每個積分實際上就是一個狄拉克函式，我們可以把它簡化為 ${\tilde {E}}(\omega )={\frac {E_{0}}{2i}}\ [\delta (2\pi (\omega _{0}+\omega ))+\delta (2\pi (\omega _{0}-\omega ))]$

這告訴我們，只有 $\omega _{0}$ 和 $-\omega _{0}$ 頻率的振幅不為零。但是作為物理學家，我們知道頻率不會是負數，所以這與我們預期的結果一致（即只有一個頻率存在）。