物理數學方法/梯度、旋度和散度

在本節中，我們將考慮向量空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 在實數上的基底為 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$.

現在我們希望處理向量微積分的一些入門概念。

向量場和標量場

定義

令 $C:\mathbb {R} ^{3}\to F$，其中 $F$ 是一個域。我們說 $C$ 是一個**標量場**

在現實世界中，標量場的例子包括

(i) 空間中的靜電勢 $\phi$

(ii) 固體中溫度的分佈，$T(\mathbf {r} )$

定義

令 $V$ 是一個向量空間。令 $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V$，我們說 $\mathbf {F}$ 是一個**向量場**；它將一個向量與 $V$ 中的每個點相關聯。

在現實世界中，向量場的例子包括

(i) 空間中的電場和磁場 ${\vec {E}}(\mathbf {r} ),{\vec {B}}(\mathbf {r} )$

(ii) 流體中的速度場 ${\vec {v}}(\mathbf {r} )$

梯度

令 $C$ 為一個標量場。我們定義梯度為一個“運算元” $\nabla$，它將場 $C$ 對映到 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的一個向量，使得

$\nabla C=\left({\frac {\partial C}{\partial x}},{\frac {\partial C}{\partial y}},{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)$，或者用更常見的表示方法， $\nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}$

在正式定義希爾伯特空間這一章之前，我們將遇到物理學家對“運算元”的理解。它可以粗略地理解為“函式的函式”。

梯度和全導數

回想多元微積分中的全導數，它定義了函式 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 在 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}$ 處的線性變換 $A$，它滿足

$\lim _{|\mathbf {h} |\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-A\mathbf {h} }{|\mathbf {h} |}}=0$

在通常的基底中，我們可以將其表示為行矩陣 $f'(\mathbf {a} )=A=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}&{\tfrac {\partial f}{\partial y}}&{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$

通常用列矩陣來表示向量。 因此我們可以寫出$\nabla f=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\\{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\\{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$

由成分$a_{ij}$ 給出的矩陣的轉置是具有成分$a_{ij}^{T}=a_{ji}$ 的矩陣。

因此，梯度是全導數的轉置。

散度

令$\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 為向量場，並令$\mathbf {F}$ 可微。

我們定義**散度**為算符$(\nabla \cdot )$，它將$\mathbf {F}$ 對映到一個標量，使得

$(\nabla \cdot \mathbf {F} )={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

旋度

令$\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 為向量場，並令$\mathbf {F}$ 可微。

我們定義**旋度**為算符$(\nabla \times )$，它將$\mathbf {F}$ 對映到一個從$\mathbb {R} ^{3}$ 到自身的線性變換，使得該線性變換可以用矩陣表示

$(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}$ 可以簡寫為 $(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}$。這裡，$x_{1},x_{2},x_{3}$ 代表 $x,y,z$ 等等。

旋度可以用矩陣明確表示為：$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}$

這種記號有時也用來表示向量 **外積** 或 **叉積**，$\nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}$