物理數學方法/矩陣

我們已經在上一章介紹了矩陣作為線性變換表示的概念。在這裡，我們將更深入地探討它們。

定義

令 $F$ 為域，並令 $M=\{1,2,\ldots ,m\}$ ， $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ 。n×m 矩陣 是一個函式 $A:N\times M\to F$ 。

我們表示 $A(i,j)=a_{ij}$ 。因此，矩陣 $A$ 可以寫成數字陣列 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

考慮在域 $F$ 上定義的所有 n×m 矩陣的集合。讓我們定義 *標量積* $cA$ 為矩陣 $B$ ，其元素由 $b_{ij}=ca_{ij}$ 給出。另外，讓兩個矩陣的 *加法* $A+B$ 為矩陣 $C$ ，其元素由 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 給出。

根據這些定義，我們可以看到在 $F$ 上的所有 n×m 矩陣的集合構成一個在 $F$ 上的向量空間。

線性變換

令 $U,V$ 是在域 $F$ 上的向量空間。考慮所有線性變換的集合 $T:U\to V$ .

將變換的加法定義為 $(T_{1}+T_{2})\mathbf {u} =T_{1}\mathbf {u} +T_{2}\mathbf {u}$ ，標量積定義為 $(cT)\mathbf {u} =c(T\mathbf {u} )$ 。因此，從 $U$ 到 $V$ 的所有線性變換的集合是一個向量空間。這個空間記作 $L(U,V)$ 。

觀察到 $L(U,V)$ 是一個 $mn$ 維向量空間

矩陣運算

行列式

矩陣的行列式是遞迴定義的（只有方陣才能定義行列式）。

如果 $A$ 是一個矩陣，它的行列式表示為 $|A|$

我們定義， $\left|{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

對於 $n=3$ ，我們定義 $\left|{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|=a_{11}\left|{\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|-a_{12}\left|{\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|+a_{13}\left|{\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{pmatrix}}\right|$