物理數學方法/里斯表示定理

在本章中，我們將更正式地討論 bra $|\rangle$ 和 ket $\langle |$ 符號，這些符號在上一章中介紹。

投影

定義

令 ${\mathcal {H}}$ 是一個希爾伯特空間，並令 $\ell :{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ 是一個連續線性變換。那麼 $\ell$ 被稱為 ${\mathcal {H}}$ 上的線性泛函。

${\mathcal {H}}$ 上所有線性泛函的空間記為 ${\mathcal {H}}^{*}$。請注意，${\mathcal {H}}^{*}$ 是一個 $\mathbb {C}$ 上的賦範向量空間，其中 $\|\ell \|=\sup \left\{{\frac {|\ell (x)|}{\|x\|}}:x\in {\mathcal {H}};\|x\|\neq 0\right\}$

我們也有一個明顯的定義：$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in {\mathcal {H}}$ 被稱為**正交**，如果 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$。 我們將其寫為 $\mathbf {a} \perp \mathbf {b}$。 如果 $A\subset {\mathcal {H}}$ 那麼我們寫 $\mathbf {b} \perp A$ 如果 $\mathbf {b} \perp \mathbf {a} \forall \mathbf {a} \in A$

定理

令 ${\mathcal {H}}$ 為希爾伯特空間，令 ${\mathcal {M}}$ 為 ${\mathcal {H}}$ 的閉子空間，令 ${\mathcal {M}}^{\perp }=\{x\in {\mathcal {H}}:(x\cdot a)=0\forall a\in {\mathcal {M}}\}$。 那麼，每個 $z\in {\mathcal {H}}$ 都可以寫成 $z=x+y$，其中 $x\in {\mathcal {M}},y\in {\mathcal {M}}^{\perp }$

證明

里斯表示定理

令 ${\mathcal {H}}$ 為希爾伯特空間。 那麼，每個 $\ell \in {\mathcal {H}}^{*}$（即 $\ell$ 是一個線性泛函）可以表示為一個內積。