物理數學方法/求和約定

基本符號 當處理張量時，經常需要進行大量的求和運算。為了簡化求和過程，我們使用愛因斯坦指標符號。

符號很簡單。我們只需寫下$A_{j}B_{j}$，而不是寫$\sum _{j}A_{j}B_{j}$，隱含著對 j 的求和。

一些常用的張量用此符號表示：

• $\delta _{a}^{b}$ 只有在$a=b$ 時才不為零。
• $\epsilon _{ijk}$ 當$i=j\lor j=k\lor i=k$ 時為零。對於奇排列（即$\epsilon _{jik}=-\epsilon _{ijk}=-\epsilon _{kij}$）。換句話說，交換任意兩個指標都會翻轉張量的符號。
• 它們的關係為$\epsilon _{ijk}\epsilon ^{imn}=\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}$（自己驗證一下）

現在我們可以寫出一些常見的向量運算：

• 標量（點）積 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A_{i}B_{i}$
• 向量（叉）積 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}=\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k}$

例子

• 無序列表專案

證明 ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})$

$A_{i}(\epsilon _{ijk}B_{j}C_{k})$ 從這裡我們可以交換索引 (i <-> j) 並得到 $B_{j}(-\epsilon _{jik}A_{i}C_{k})$。注意符號反轉。為了再次得到正號，我們可以交換索引 (i <-> k) 並得到 $B_{j}(\epsilon _{jki}C_{k}A_{i})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})$，如預期的那樣。

• 證明 ${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})\equiv \epsilon _{ijk}A_{j}(\epsilon _{klm}B_{l}C_{m})$ （密切關注索引 - 一些學生會不小心新增太多）

我們知道我們想要從這裡得到一個點積。為了做到這一點，我們將不得不使用 Levi-Cevita 張量用 Kronecker 狄拉克函式表示的展開式。我們想要得到具有相同第一個索引的張量，所以我們可以透過交換索引 (i <-> k) 來做到這一點 $-\epsilon _{kji}\epsilon _{klm}A_{j}B_{l}C_{m}=-(\delta _{jl}\delta _{im}-\delta _{jm}\delta _{il})A_{j}B_{l}C_{m}$。現在我們可以觀察到第一項只有在 j=i 且 l=m 時才非零，所以 $\delta _{jl}\delta _{im}A_{j}B_{l}C_{m}=A_{i}B_{l}C_{l}$。注意，這只是點積 $({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})A_{i}$。第二項只有在 k = m 且 j = l 時才非零，所以 $\delta _{km}\delta _{jl}A_{j}B_{l}C_{m}=A_{j}B_{j}C_{k}=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})C_{k}$

將這些結合起來，我們得到 $({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})B_{k}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})C_{k}=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$，如預期。

張量符號 當使用張量時，上下標之間的區別以及它們的順序變得很重要。 $T_{b}^{a}v^{b}$ 將被收縮成一個新的向量，但 $T_{b}^{a}v_{b}$ 不會。

可能會有用的定義：如果一個張量是對稱的，那麼它滿足 $T_{ab}=T_{ba}$ 的性質。如果一個張量是反對稱的，那麼 $T_{ab}=-T_{ba}$ 許多張量都不滿足這些性質 - 所以在盲目地將它們應用於某個問題之前，確保使用它們是有意義的。