物理數學方法/多極展開

張量在所有涉及複雜方向依賴性的物理情況下都有用。這裡，我們考慮一個這樣的例子，即電荷分佈勢的多極展開。

介紹

考慮任意電荷分佈 $\rho (\mathbf {r} ')$。我們希望找到此電荷分佈在給定點 $\mathbf {r}$ 處的靜電勢。我們假設此點距離電荷分佈很遠，也就是說，如果 $\mathbf {r} '$ 在整個電荷分佈上變化，則 $\mathbf {r} >>\mathbf {r} '$

現在，電荷分佈的庫侖勢由 $V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}dV'$

這裡，$|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=|r^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '+r'^{2}|^{\frac {1}{2}}=r\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}$，其中 ${\hat {\mathbf {r} }}\triangleq \mathbf {r} /r$

因此，利用 $\mathbf {r}$ 比 $\mathbf {r} '$ 大得多的事實，我們可以寫成 ${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}}}$，並使用二項式展開，

${\frac {1}{\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}}}=1+{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left(3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2})+O\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}$ （我們忽略三階及更高階項）。

多極展開

因此，勢可以寫成 $V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(1+{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left(3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2})+O\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right)dV'$

我們將其寫成 $V(\mathbf {r} )=V_{\text{mon}}(\mathbf {r} )+V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )+V_{\text{quad}}(\mathbf {r} )+\ldots$，其中，

$V_{\text{mon}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')dV'$

$V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)dV'$

$V_{\text{quad}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(3\left({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2}\right)dV'$

等等。

單極子

觀察到 $Q=\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')dV'$ 是一個標量（實際上是分佈中的總電荷），被稱為電單極子。這個術語表示點電荷的電勢。

偶極子

我們可以寫 $V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )={\frac {\hat {\mathbf {r} }}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\cdot \int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\mathbf {r} 'dV'$

向量 $\mathbf {p} =\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\mathbf {r} 'dV'$ 被稱為電偶極子。它的幅值被稱為電荷分佈的偶極矩。這個術語表示偶極子電勢的線性電荷分佈幾何形狀。

四極子

令 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 和 $\mathbf {r} '$ 用笛卡爾座標表示為 $(r_{1},r_{2},r_{3})$ 和 $(x_{1},x_{2},x_{3})$。那麼，$({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} ')^{2}=(r_{i}x_{i})^{2}=r_{i}r_{j}x_{i}x_{j}$

我們定義一個二元張量為張量${\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}$，由$\left({\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)_{ij}=r_{i}r_{j}$給出。

定義四極矩張量為$T=\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(3(\mathbf {r} '\mathbf {r} ')-\mathbf {I} r'^{2}\right)dV'$

那麼，我們可以寫$V_{\text{qua}}$ 為張量收縮$V_{\text{qua}}(\mathbf {r} )=-{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}::T$，這表明了三維空間中四極電勢的分佈。